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sous A,& le diviseur a sous B. Je divise aab+abb encore par a, & j'écris le Quotient ab + ba, & le diviseur b sous A, & sous B. Je divile ab + bb par b, &j'écris le Quotient a +6, & le diviseur b sous Ā, & sous B. Enfin je divise a + b par a + b; & j'écris le Quotient 1, & le diviseur a+b, sous A & sous B. J'acheve l'operation comme celle des nombres , & je trouve tous les diviseurs de la quan. citė a: -+ aabb au-dessous de B.

R E S O L U TI O N. Des puissances, ou de l'extra{tion des racines des quantitez

algebriques. 58. Extrair e la racine d'une puissance , ou d'une quantité algebrique, c'est trouver , par une operation contraire à celle de la formation des puissances , uno quantité plus simple que la proposée , qui étant multipliée par elle-même, autant de fois qu'il est necessaire, produise la puissance ou la quantité proposée.

Il y a autant de sortes de racines,qu'il y a de puissances, & l'on donne à chaque racine le nom de la puissance à laquelle elle se rapporte. Ainsi la quantité qu'il ne faut multiplier qu'une fois par elle-même pour produire la quantité ou la puissance dont elle est la racine , est nommée racine quarrée , ou seconde racine ; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle-même , pour produire la puissance dont elle est la racine,est appellée racine cube,ou troisiéme racine ; celle qu'il faut multiplier trois fois, est nommée racine quarrée quarrée, ou quatrième racine; celle qu'll faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquième racine; celle qu'il faut multiplier cinq fois, facine cube cube , ou sixiéme racine, &c.

On se sert de ce caractere V qu'on appelle signe radical , pour signifier le mot de racine : mais pour le terminer à lìgnifier une telle racine, on y joint l'expo. sant de la puissance à laquelle se rapporte la racine en question, & cet exposant est alors appellé exposant du signe radical. Ainsi V, ou simplemeut V, signifie racine quarrée , ou seconde racine ; V, signific racine cube, quatriéme racine , exc. De sorte que Vab, ou Vaa+bb, Vaa + 2ab+ 66, signifie qu'il faut extraire la racine quarrée de ab, ou de aa + bb, ou de aa + 2ab + bb , &c.

cine

Il y a des quantitez dont la racine proposée s'extrait exa&ement; d'autres, dont on ne la peut extraire qu'en partie;& d'autres, dont on ne la peut point du tout extraire.

59. Les quantitez dont on ne peut extraire exactement la racine, & qu'on est obligé d'exprimer par le moyen du figne radical, font nommées , fourdes, ou irrationnelles, & celles qui ne sont affectéęs d'aucun signe radical, sont nommées rationnelles. Ainsi Vab, Vāa+bb, sont des quantitez irrationnelles, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée ; Vaab est une quantité irrationnelle, parceque l'on n'en peut pas extraire la racinę cube ; &c.

EXTRACTION

Des racines des quantitez incomplexes 60. PUISQUE (no. 22. ), pour élever une quantité incomplexe à une puissance donnée , il faut multiplier les exposans de cette quantité par l'exposant de la puislance proposée ; il est clair que pour extraire la racine proposée d'une quantité incomplexe, il n'y a qu'à diviser les expofans de cette quantité par l'exposant du signe radical convenable; ou, ce qui revient au même,multiplier les exposans de la quantité proposée par une fraction dont le numerateur soit l'unité , & le dénominateur soit l'exposant du signe radical dont il s'agit, c'est-à-dire , par, s'il s'agit de la racine quarrée ; , s'il s'agit de la racine cube ; , s'il s'agit de la racine quarrée quarrée , &c: car les denominateurs 2, 3 & 4 sont les exposans des si

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gnes

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radicaux V, V, 7, &c. L'on rend par-là l'operation de l'extraction des racines, semblable à celle de la formation des puissances , & l'on a des exposans pour les racines auffi bien que pour les puissances : car est l'exposant de la racine quarrée; , l'exposant de racine cube;

l'exposant de la racine quarrée quarrée, &c. & l'on peut par consequent énoncer l'extra&ion des racines, en disant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance

&c. au lieu de dire qu'il en faut extraire la racine quarrée, cube, quarrée quarrée, &c.

Si aprés la multiplication des exposans de la quantité propolée par les fractions dont on vient de parler , les exposans qui sont alors fractionnaires, se peuvent tous réduire en entier, la racine proposée sera une quantité rationnelle ; si une partie de ces exposans se peut réduire en entier, & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne sera extraite qu'en partie , & l'on mettra la partie rationnelle devant le signe radical, & la partie irrationnelle aprés ; si tous ces exposans demeurent fractionnaires, la racine ne sera point extraite , & l'on se contentera de mettre le signe radical devant la quantité proposée ; enfin si les expofans fractionnaires qui ne peuvent être réduits en entier surpassent l'unité, la puislance de la lettre dont ils font expofans, sera en partie rationnelle , & en partie irrationnelle. Il faudra operer sur les coéfíciens, comme sur les lettres, en y employant les extractions numeriques des racines , & la Méthode de trouver tous les diviseurs d'un nombre,expliquée no.56. Tout ce qu'on vient de dire sera éclairci par les Exemples qui suivent.

EXE M P L E S. 61. Soit à 64 cs dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance ; ayant multi

4

6

с 2

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plié les exposans 2, 4 & 6 par , l'on aura až 6 ou ab’ci aprés avoir réduit les exposans fractionnaires en entier, de sorte que Va+b+c=abc, ce qui est évident. De même, Va'b = ab 7=aVb: car a est la racine de aa, ou ao, & bžest la même chose que Vb ; Vab = ažbí=vab;c'est-à-dire quevab est une quantité toutę irrationnelle ; Valb=ažbi

a2b2=a

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I

1

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a

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Or 72

36

a'a7b.=aVab;V72 a’b=babyzab: car il est clair par les Exemples précedens , que Va’b} = abVab, & je demontre que V72 = 6V2 en cette sorte. Si l'on cherche (no. 56 ) tous les diviseurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes , & ainsi des autres racines ) on trouvera que 36 est le plus grand,

= 2 & 36x2= 72; c'est pourquoi V72 peut être regardée comme le produit de V36 *V2: mais V36 6; donc V72 = 6V2, & partant V72 a'b} GabVzab. On trouvera de même quev12aab=2aV3b, & quev6aabc aV6bc ; parceque 6 ne peut être divisé par aucun quarré, Il en est ainsi des autres.

EXTRACTION

Des racines des Polynomes. 62. L'A Méthode d'extraire les racines des Palynomes, selon la maniere ordinaire, est semblable à celle å’extrai‘re la racine des nombres,

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EXEMPLE I. Sort la quantité aa + 2ab + bb + 2ac + 2bc + ((, dont il faut extraire la racine quarrée. Diviseurs. Quantité proposée.

Racine, ou Quot. aa+2ab+bb+1ac+-2bc+cc. (a+b+6.

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1. 2a + b A. O +2ab+bb+ac+2bc+co

-- 2ab-bb 2. 23+25+. B.

Otiac+2bc+CC

-206-2bcC.

o. Je dis , le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme àa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe — Je réduis à la maniere de la division la quantité proposée , & le quarré foustrait , & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne la que j'écris à la gauche de la Réduction A,& qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier terme+ 2ab de la quantité A par 2a ; ce qui me donne +b que j'écris au Quotient , & à la droite du diviseur 2a , & j'ai le premier diviseur complet-2a + b que je multiplie par le nouveau Quotient b , & j'ai plus zab + bb que je soustrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double. le Quotient a+b, & j'ai 2a + 2b pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. se divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a , ce qui me donne +6 que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau di. viseur 2a + 2b;

ce qui fait 2a + 2b +c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur cæ

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