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+26+c par le nouveau Quotient c, & j'ai żac+2bc+co que j'écris au-deffous de la quantité B avec des fignes contraires; & réduifant ces deux quantitez je trouve zero pour la troifiéme Réduction; d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par consequent,

Vaa + zab + bb +2ac+ 2bc + ca

a+b+ Co

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-

Le premier terme 9aa étant un quarré dont la racine eft 3a; j'écris 3a au Quotient, & fon quarré 9an au-deffous de 9aa avec le figne, & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 64, qui font partie du premier divifeur, & que j'écris à la gauche de la quantité A. Je divife 12ab par + 6a, ce qui me donne-2b que j'écris au Quotient & à la droite de 6a, & j'ai par ce moyen le divifeur complet 6a 2b. Je multiplie 6a — 2b par —-- 2b, ce qui me donne 12ab + 4bb, & j'écris + 12ab-4bb audeffous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui fe trouve égale à zero, fait voir que la quantité propofée est un quarré dont la racine est 3a — 2b, c'est-à-dire, que √9aa — 12ab + 4bb =3a- 2b.

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S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée par le double du Quotient, ce feroit une marque que la quantité propofée ne feroit point quarrée; & il faudroit alors fe contenter de la mettre fous le figne radical. Par

exemple, fi on vouloit extraire la racine quarrée de aa+bb, l'on trouveroit que la racine de aa eft a: mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa+bb, n'eft point un quarré; c'eft pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa + bb. Il en est ainsi des autres.

Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puiffances, ou lorfqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, fi une quantité proposée est quarrée, ou un cube, &c. & d'en extraire par confequent la racine fans le fecours d'aucune operation, ou par la feule inf pection des termes de la quantité propofée,

63. Mais fans cela, & fans le fecours des Régles que nous venons de donner, l'on peut, avec toute la facilité poffible extraire toutes fortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale propofée n°. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puiflance dont l'expofant foit celui de la racine qu'on veut extraire, c'est-à. dire, que cet exposant soit

I

I

2

I

fi

fi

c'est la racine quarrée ; —, fi c'est la racine cube, —, si c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui eft facile en fuivant ce qui eft prefcrit n°. 31, comme on va voir par les Exemples qui fuivent,

EXEMPLE I.

SOIT la quantité a3 —zaab → zabb +

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extraire la racine cube, ou ce qui eft la même chose,

qu'il faut élever à la puissance →.

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3

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Ayant fait a3p, — zaab → zabb — L1=q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers ter

m

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mes, mp q de la formule generale propofée no,

30; ( car les autres termes font inutiles, lorfque les racines qu'on veut extraire, font rationnelles ;) l'on aura a

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3m

zaab + zabb — b3, & faisant encore m

X

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le fecond terme - a

-2

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・2 + 2 b = —ab b = b; le

=

troifiéme & quatriéme terme font nuls. Ainfi l'on a a—b pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que

3

a3 3aab + zabb b3 3 ; ou√a3 —zaab+abb — b3

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1

EXEMPLE II.

SOIT la quantité aa+ 2ab

ΟΙ Τ

aa+2ab―zac+bb-2bc+ ce dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à

la puissance —.

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Ayant fait aa ou a2 = p, + zab zac + bb 2bc+ ccq, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p+mp q, l'on aura

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cc. Mais parceque le fecond & troisième

terme deviennent + b, &c; il fuit que tous les autres termes, où b, & c fe rencontrent font nuls. Ainf

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— 2ac + bb — 2bc + cc 1, Vaa+zab-zac + bb 266 +66=a+bc.

ΟΙΤ

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SOIT la quantité 9aa + 12ab+4bb dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance L.

2

Ayant fuppofé 9aa, oμ 9a2=p, &12ab+4bb÷ ou 9a2=p,&12ab+ q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p+mp q, l'on aura 9 a

mo

a

a

X

212

m

123 - I

a x12ab+4bb,ou en faisant m=

-I

m 2m

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×9 га × 12ab+ 4bb, ou 9 ? a +

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× 12ab ☛ 4bb, ou3a+2/ × 12ab+4bb, ou

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bb: mais le second terme 2ab1b; c'est pourquoi ce fecond terme eft le dernier, & le troifiéme eft nul. Ainfi

9aa +12ab+ 4b6

2

I

, ou √gaa + 12ab+4bb =3a+2b,

REMARQUE.

64. SI dans aucun terme la valeur de m, exposant de p, ne fe trouvoit point = o, la racine de la quantité propofée feroit irrationnelle,& l'extraction fe pourroit continuer à l'infini, ce qu'on appelle approximation des racines :mais cela n'eft point neceffaire pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie: car lorsque la racine d'une quantité eft irrationnelle, on fe contente de l'exprimer par le moyen du figne radical qui lui convient, comme on a déja dit,& comme on pourra voir dans la fuite.

Pour

Pour s'affeurer fi on a bien extrait une racine, il est xxxiij bon de l'élever à fa puiffance car s'il vient la quantité propofée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a+26 pour la racine quarrée de gaa + 12ab+4bb. Or fi l'on multiplie 34+26 par 3a+2b, l'on trouvera 9aa + 12ab+4bb qui eft la quan. tité propofée, c'est pourquoi l'extraction a été bien faite.

REDUCTION

Des quantitez irrationelles à leurs plus fimples expressions. 65. Il y a des quantitez complexes, comme d'incomIt plexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive fouvent que ces quantitez font le produit de la puiffance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité ; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le signe radical la racine de cette puiffance, & l'autre quantitė fous le figne radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par confequent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le figne radical en cette forte Vaab + aac: mais on voit aisément que aabaac eft le produit de aa qui eft un quarré, par b+c, ou que √aab +aac⇒√aa × √b+c: or Vaa = a; donc Vaap aac⇒ax√b+c=a√b+ci & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plûtôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationelle à fa plus fimple expreffion, ce qu'on doit toujours faire quand cela fe peut, foit que les quantitez foient complexes ou incomplexes.

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Lorfqu'on ne voit pas par la feule infpection des termes, fi une quantité irrationelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expreffion plus fimple, on l'examinera en cherchant (no. 56 ou 57) tous les divifeurs qui la peuvent exactement divifer ; & s'il s'en trouve quelqu'un qui foit une puiffance du même nom que la racine qn'on

e

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