+26+c par le nouveau Quotient c, & j'ai żac+2bc+co que j'écris au-deffous de la quantité B avec des fignes contraires; & réduifant ces deux quantitez je trouve zero pour la troifiéme Réduction; d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par consequent, Vaa + zab + bb +2ac+ 2bc + ca a+b+ Co - Le premier terme 9aa étant un quarré dont la racine eft 3a; j'écris 3a au Quotient, & fon quarré 9an au-deffous de 9aa avec le figne, & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 64, qui font partie du premier divifeur, & que j'écris à la gauche de la quantité A. Je divife 12ab par + 6a, ce qui me donne-2b que j'écris au Quotient & à la droite de 6a, & j'ai par ce moyen le divifeur complet 6a 2b. Je multiplie 6a — 2b par —-- 2b, ce qui me donne 12ab + 4bb, & j'écris + 12ab-4bb audeffous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui fe trouve égale à zero, fait voir que la quantité propofée est un quarré dont la racine est 3a — 2b, c'est-à-dire, que √9aa — 12ab + 4bb =3a- 2b. S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée par le double du Quotient, ce feroit une marque que la quantité propofée ne feroit point quarrée; & il faudroit alors fe contenter de la mettre fous le figne radical. Par exemple, fi on vouloit extraire la racine quarrée de aa+bb, l'on trouveroit que la racine de aa eft a: mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa+bb, n'eft point un quarré; c'eft pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa + bb. Il en est ainsi des autres. Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puiffances, ou lorfqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, fi une quantité proposée est quarrée, ou un cube, &c. & d'en extraire par confequent la racine fans le fecours d'aucune operation, ou par la feule inf pection des termes de la quantité propofée, 63. Mais fans cela, & fans le fecours des Régles que nous venons de donner, l'on peut, avec toute la facilité poffible extraire toutes fortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale propofée n°. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puiflance dont l'expofant foit celui de la racine qu'on veut extraire, c'est-à. dire, que cet exposant soit I I 2 I fi fi c'est la racine quarrée ; —, fi c'est la racine cube, —, si c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui eft facile en fuivant ce qui eft prefcrit n°. 31, comme on va voir par les Exemples qui fuivent, EXEMPLE I. SOIT la quantité a3 —zaab → zabb + extraire la racine cube, ou ce qui eft la même chose, qu'il faut élever à la puissance →. 3 Ayant fait a3p, — zaab → zabb — L1=q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers ter m mes, mp q de la formule generale propofée no, 30; ( car les autres termes font inutiles, lorfque les racines qu'on veut extraire, font rationnelles ;) l'on aura a 3m zaab + zabb — b3, & faisant encore m X le fecond terme - a -2 ・2 + 2 b = —ab b = b; le = troifiéme & quatriéme terme font nuls. Ainfi l'on a a—b pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que 3 a3 3aab + zabb b3 3 ; ou√a3 —zaab+abb — b3 1 EXEMPLE II. SOIT la quantité aa+ 2ab ΟΙ Τ aa+2ab―zac+bb-2bc+ ce dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance —. Ayant fait aa ou a2 = p, + zab zac + bb 2bc+ ccq, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p+mp q, l'on aura cc. Mais parceque le fecond & troisième terme deviennent + b, &c; il fuit que tous les autres termes, où b, & c fe rencontrent font nuls. Ainf — 2ac + bb — 2bc + cc 1, Vaa+zab-zac + bb 266 +66=a+bc. ΟΙΤ SOIT la quantité 9aa + 12ab+4bb dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance L. 2 Ayant fuppofé 9aa, oμ 9a2=p, &12ab+4bb÷ ou 9a2=p,&12ab+ q, & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p+mp q, l'on aura 9 a mo a a X 212 m 123 - I a x12ab+4bb,ou en faisant m= -I m 2m ×9 га × 12ab+ 4bb, ou 9 ? a + × 12ab ☛ 4bb, ou3a+2/ × 12ab+4bb, ou bb: mais le second terme 2ab1b; c'est pourquoi ce fecond terme eft le dernier, & le troifiéme eft nul. Ainfi 9aa +12ab+ 4b6 2 I , ou √gaa + 12ab+4bb =3a+2b, REMARQUE. 64. SI dans aucun terme la valeur de m, exposant de p, ne fe trouvoit point = o, la racine de la quantité propofée feroit irrationnelle,& l'extraction fe pourroit continuer à l'infini, ce qu'on appelle approximation des racines :mais cela n'eft point neceffaire pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie: car lorsque la racine d'une quantité eft irrationnelle, on fe contente de l'exprimer par le moyen du figne radical qui lui convient, comme on a déja dit,& comme on pourra voir dans la fuite. Pour Pour s'affeurer fi on a bien extrait une racine, il est xxxiij bon de l'élever à fa puiffance car s'il vient la quantité propofée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a+26 pour la racine quarrée de gaa + 12ab+4bb. Or fi l'on multiplie 34+26 par 3a+2b, l'on trouvera 9aa + 12ab+4bb qui eft la quan. tité propofée, c'est pourquoi l'extraction a été bien faite. REDUCTION Des quantitez irrationelles à leurs plus fimples expressions. 65. Il y a des quantitez complexes, comme d'incomIt plexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive fouvent que ces quantitez font le produit de la puiffance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité ; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le signe radical la racine de cette puiffance, & l'autre quantitė fous le figne radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par confequent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le figne radical en cette forte Vaab + aac: mais on voit aisément que aabaac eft le produit de aa qui eft un quarré, par b+c, ou que √aab +aac⇒√aa × √b+c: or Vaa = a; donc Vaap aac⇒ax√b+c=a√b+ci & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plûtôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationelle à fa plus fimple expreffion, ce qu'on doit toujours faire quand cela fe peut, foit que les quantitez foient complexes ou incomplexes. Lorfqu'on ne voit pas par la feule infpection des termes, fi une quantité irrationelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expreffion plus fimple, on l'examinera en cherchant (no. 56 ou 57) tous les divifeurs qui la peuvent exactement divifer ; & s'il s'en trouve quelqu'un qui foit une puiffance du même nom que la racine qn'on e |