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veut extraire, la quantité propofée se pourra réduire à une plus fimple expreffion: car elle pourra être regar. dée comme le produit de cette puiffance, & du quotient qui vient en la divifant par la même puiffance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a3 — zaab + zabb-b3, en cherchant tous les diviseurs de cette quantité, on trouvera que aa — zab +bb, qui est un quarré, en est un, & qu'en divisant a3 zaab+3abb 63 bi par aa — zab + bb, il vient au quotient a-b; c'eft pourquoiva3— zaab+3abb—b3—√aa—zab+bb x√a—b:

orvaa―2ab+bba-bidonc Va3-zaab+3abb—b3

=a—b√a—b.

Lorsqu'on trouve plufieurs divifeurs qui font des puiffances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne fe fervira que du plus grand.

&

:

66. On ajoute, on fouftrait, on multiplie, & on divise les quantitez irrationelles comme les rationelles ; & ces 4. operations fe font de la même maniere pour les unes pour les autres mais pour une plus grande facilité, il les faut auparavant réduire à leurs expreffions les plus fimples; & comme les quantitez irrationelles ne different des rationelles que par le figne radical qui caracte. rife de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur feroient pas pour cela femblables; de forte que les quantitez qui font hors du figne radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui font fous le figne radical.

Il faut neanmoins remarquer que les quantitez irra tionelles font semblables, lorfque celles qui font fous les fignes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorfque celles qui font hors des fignes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coéficiens. Ainfi zava & 2a√a ; za√a+b; • &ava +b; + √ax xx, & 2 √ax-xx font des

a

за

1

quantitez irrationelles femblables. On fuppofe que le figne radical foit le même, ce qui arrive toujours dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

N

ADDITION

Des quantitez irrationelles.

67. On les écrira de fuite, ou au-deffous les unes des
autres avec les fignes qu'on leur trouve & lorfqu'elles
feront femblables,on en fera (n°.11) la réduction comme
fi c'étoit des quantitez rationelles. Ainfi pour ajouter
2a√b avec zavb, l'on écrira 2a√b+3a√b, qui se réduit à
5avb. Pour ajouter zavb avec 2cvb, l'on écrira 3ab+
2cvb, & il eft indifferent de laiffer ces quantitez en cet
état, ou de les écrire en cette forte 34+ 2cVb. Pour ajou-
xx avec bvax
xx, l'on écrira avax

ter avax
+ b√ax

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XX

xx, ou a + b √ax —xx. Pour ajouter zavb avec 2cvd, l'on écrira 3a√b + 20√d qui ne peut point avoir d'autre expreffion.

N

SousTRACTION

Des quantitez irrationelles.

68. On les écrira de fuite en changeant les fignes de celles qui doivent être fouftraites ; & lorsqu'elles feront femblables. on en fera (n°. II) la réduction comme fi c'étoit des quantitez rationnelles. Ainfi pour fouftraire 3avb de savb, l'on écrira sa√b — 3ø√b qui se réduit à 2a√b. Pour fouftraire 34√2b de 5b√2b, l'on écrira 5b√2b —3a√2b, ou 5b —342b. Pour fouftraire-2bVax-xx de 3bvax-xx, l'on écrira 3b√ax-xx+2b√ax—xx, qui fe réduit à sb√ax-xx. Pour fouftraire 2cvd de 3avb l'on écrira zavb-20√d, qui ne peut avoir d'autre expref

fion.

MULTIPLICATION.

Des quantitez irrationnelles.

69. Si les quantitez que l'on veut multiplier font incomplexes, l'on multiplira la partie rationelle par la rationelle; & la partie irrationelle par l'irrationelle, & l'on écrira le produit des parties rationelles devant le figne radical & le produit des irrationelles aprés,& l'on réduira le produit total à fon expreffion la plus fimple. Ainfi avbx cvb=acvbb: maís vbb b; donc acvbbabc; d'où l'on voit que lorfque les parties irrationelles font femblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationelles par ce qui fe trouve fous le figne radical. De même avbx Vc, ou avb x IVC (car on prend l'unité pour partie rationelle, lorfqu'il n'y en a point d'autre)=a√bc; za√b × 3b, ou 2a√b × 3b√1 =6ab√b; 2a√bc × b√ab — 2ab√abbc = zabb√ac; 2a√3bc × 3b√6ab =6ab√18abb c 18abb√2ac; a√2b × 2b√3c=2ab√6be. Vab × Vab Vaabb; 2a√ab × 3b√aa — 6ab√a'b=6aab√b. Il en est ainfi des autres.

=

=

3

70. Si les quantitez que l'on veut multiplier font incomplexes, on multipliera tous les termes de l'une par chacun de ceux de l'autre, en fuivant les regles des quantitez incomplexes, & la Réduction des produits particuliers étant faite, l'on aura le produit total. Ainsi Vaa+bbx√aa+bb= aa+bb ; √aa-bbx-Vaa - bb

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aa+bb; 2a√aa + bb × b√aa+bb — 2a3b+2ab3. Ceci est évident; car lorfque la même quantité fe trouve fous le figne radical ✔, en ôtant le figne radical, cette quantité le trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on

peut encore prouver en cette forte: Vaa + bb × √aa+bb

I

I

=aa✈ bb 2 xaa + bb 2 = (no. 34.) aa+bb 2

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I

I

2 ou

I

X 2

=aa+bb. Il en eft ainfi des

(no. 33.) aa ✈ bbz

autres,

Pour multiplier Va + b par Va — b, on multipliera a+b par ab, comme fi c'étoit des quantitez rationelles, & l'on aura Vaa-bb. De même a + √abxb= ab+b√abia+Vab × √bc = a√bc↓↓abbc = a√bc+b√ac; 3a√bc-2b√ac × 2c√ab=6ac√abbc-4bc√aabc=6abc√ac —4abcbc. Voici des Exemples plus compofez,

par

a+Vaabb multiplié.
a+Vaa-bb

aa Vaa-bb

Vaa ·bb + da

66

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DIVISION

Des quantitez irrationelles.

71. O N écrira le dividende au-dessous du diviseur en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le Quotient de la divifion. Mais lorfque l'on s'appercevra que le dividende fera le produit du divifeur par une autre quantité, ce qui eft aisé dans les quantitez incomplexes, on prendra cette autre quantité pour le Quotient. Et dans quantitez incomplexes, lorfqu'on n'apercevera pas le Quotient, on examinera (no. 46.) fi lạ divifion fe peut faire; & fi elle fe fait, l'on aura un Quotient fans fraction: mais fi elle ne fe fait point, on fe con. tentera de la divifion indiquée. Ainsi

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b;

acvbc

Vab
Va ; avb

Va―x: car a+ × × a

- xx. Il en est ainfi des autres.

II y a d'autres Réductions pour les divifions indiquées qu'on trouvera ailleurs; & tout ce que nous allons dire des raports, & des fractions, fe doit auffi entendre de ces fortes de divifions, foit qu'elles foient rationelles, ou irrationelles.

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