veut extraire, la quantité proposée se pourra réduire à une plus fimple expression: car elle pourra être regardée comme le produit de cette puissance, & du quotient qui vient en la divisant par la même puissance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a3-3aab+ zabb - b', en cherchant tous les diviseurs de cette quantité, on trouvera que aa 2ab+bb, qui est un quarré, en est un, & qu'en divisant a3 - заав+zabb - b' par 2ab + bb, il vient au quotient a - b ; c'est pour aa X quoiva3-3aab+3abb-b3√aa-2ab+bb x√a-b: orvaa-2ab+bb=a-b;donc Va3-3aab+3abb-b3 bla-b. =a Lorsqu'on trouve plusieurs diviseurs qui font des puif sances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne fe fervira que du plus grand. 66. On ajoute, on soustrait, on multiplie, & on divise les quantitez irrationelles comme les rationelles ; & ces 4. operations se font de la même maniere pour les unes & pour les autres: mais pour une plus grande facilité il les faut auparavant réduire à leurs expressions les plus fimples; & comme les quantitez irrationelles ne diffe. rent des rationelles que par le signe radical qui caracte. rife de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur feroient pas pour cela semblables; de forte que les quantitez qui font hors du signe radical, ne doivent point être mêlées dansaucune de ces quatre operations, avec celles qui sont sous le figne radical. Il faut neanmoins remarquer que les quantitez irrationelles sont semblables, lorsque celles qui sont sous les signes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorsque celles qui font hors des signes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coéficiens. Ainsi zava & 2aVa; zava+b; *&ava+b; Vax-xx, & Vax-xx font des : quantitez irrationelles semblables. On suppose que le figne radical foit le même, ce qui arrive toujours dans P'Application de l'Algebre à la Geometrie. ADDITION Des quantitez irrationelles. 67. Ο N les écrira de suite, ou au-dessous les unes des autres avec les signes qu'on leur trouve, & lorsqu'elles seront semblables, on en fera (no.11) la réduction comme si c'étoit des quantitez rationelles. Ainsi pour ajouter zavb avec zavb, l'on écrira 2a√b+3avb, qui se réduit à savb. Pour ajouter zavb avec 20√b, l'on écrira zavb+ 2cvb, & il est indifferent de laisser ces quantitez en cet état, ou de les écrire en cette forte 3 + 20√b. Pour ajouter avax xx avec blax - xx, l'on écrira avax - xx -xx. Pour ajouter zavb + b√ax - xx, ou a+b Vax avec 2cvd, l'on écrira zavb + 2cvd qui ne peut point avoir d'autre expreffion. SouSTRACTION Des quantitez irrationelles. 68. On les écrira de suite en changeant les fignes de celles qui doivent être soustraites; & lorsqu'elles feront semblables. on en fera (n. 11) la réduction comme fi c'étoit des quantitez rationnelles. Ainsi pour soustraire zavb de savb, l'on écrira savb - zavb qui se réduit à 2a√b. Pour soustraire za√26 de sb√26, l'on écrira 56426 -3a26, ou 56-34√26. Pour soustraire - 2bax-xx de 3bvax - xx, l'on écrira 3bVax-xx+2b/ax-xx, qui se réduit à sbvax - xx. Poursoustraire 21Vd de zavb l'on écrira zavb - 2cvd, qui ne peut avoir d'autre expref. fion. MULTIPLICATION Des quantitez irrationnelles. 69. Si les quantitez que l'on veut multiplier font incomplexes, l'on multiplira la partie rationelle par la rationelle ; & la partie irrationelle par l'irrationelle, & l'on écrira le produit des parties rationelles devant le signe radical & le produit des irrationelles aprés, & l'on réduira le produit total à son expression la plus fimple. Ainsi avbx c√b=ac√bb: mais √bb = b; donc ac√bb=abc; d'où l'on voit que lorsque les parties irrationelles sont semblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationelles par ce qui se trouve sous le signe radical. De même avb × √c, ou avb x IVc ( car on prend l'unité pour partie rationelle, lorsqu'il n'y en a point d'autre) = a√bc; 2a√b x 36, ou 2a√b x 36√1 = 6ab√b ; 2a√bc × b√ab=2ab√abbc= 2abbVac; 2a√3bc × 3bV6ab=6ab√18abbc = 18abb√2ac; 3 3 3 a√26 x 26√3c= 2ab√6be. Vab x Vab = Vaabb; zavab x 3bvaa6abvab=6aabvb. Il en est ainsi des autres. 70. Si les quantitez que l'on veut multiplier font incomplexes, on multipliera tous les termes de l'une par chacun de ceux de l'autre, en suivant les regles des quantitez incomplexes, & la Réduction des produits particuliers étant faite, l'on aura le produit total. Ainfi Vaa+bbx√aa+bbaa+bb; Vaa-bbx - Vaa-bb - aa+bb; 2aVaa bb x blaa+bb = 2a2b+zab'. Ceci est évident; car lorsque la même quantité se trouve fous le signe radical ✓, en ôtant le signe radical, cette quantité se trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on peut encore prouver en cette forte: Vaa + bb x Vaa+bb I =aa+bb 2 xaa+662=(n°. 34.) aa+bb 2 I X 2 r (no. 33.) aa +66 =aa+bb. Il en est ainsi des autres, Pour multiplier Va + b par Va-b, on multipliera a+b para-6, comme si c'étoit des quantitez rationelles, & l'on aura Vaa - bb. De même a + Vabxb= ab+b√abia+Vab×√bc=a√bc+√abbc=a√bc+bVac; 3aVbc-26Vac x 2cVab=6ac√abbc-4bcaabc=6abca6 -4abc√bc. Voici des Exemples plus composez, par a+Vaa-bb multiplić. a+Vaa-bb aa+Vaa-bb DIVISION Des quantitez irrationelles. 71. O N écrira le dividende au-dessous du diviseur en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le Quotient de la division. Mais lorsque l'on s'appercevra que le dividende sera le produit du diviseur par une autre quantité, ce qui est aise dans les quantitez incomplexes, on prendra cette autre quantité pour le Quotient. Et dans les quantitez incomplexes, lorsqu'on n'apercevera pas le Quotient, on examinera (no. 46.) si la division se peut faire; & fi elle se fait, l'on aura un Quotient sans fraction: mais si elle ne se fait point, on se con. tentera de la division indiquée. Ainfi Vab 124cV6bc = acVbc 6; avb - Va CVc; = 3a√3c; Vaa-xx = Va-x: car a+ x xa -x= aa - xx. Il en est ainsi des autres. Va+x Il y a d'autres Réductions pour les divifions indiquées qu'on trouvera ailleurs; & tout ce que nous allons dire des raports, & des fractions, se doit aussi entendre de ces sortes de divisions, soit qu'elles soient rationelles, ou irrationelles. |