Des Raifons, ou Raports, des Fractions, des Equations, & des Proportions.

II.

RA

DEFINITIONS.

AISON, ou Raport eft la comparaison de deux grandeurs de même genre, telles que font deux nombres, deux lignes, deux furfaces, deux corps, deux espaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux viteffes d'un même, ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c.

Or comparer les grandeurs, c'eft operer fur les grandeurs ; & comme l'on ne peut operer fur les grandeurs qu'en les ajoutant, fouftrayant, multipliant, divifant, & en en extrayant les racines; il faut neceffairement que leur comparaison fe faffe par quelques-unes de ces ope

rations.

Mais parceque l'Addition, & la Multiplication les confondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi confifte précisément la comparaifon des grandeurs, & que l'extraction des racines n'agit que fur une feule; & qu'au contraire la Souftraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excés de l'une pardeffus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Divifion détermine combien de fois une grandeur en contient, ou eft contenue dans une autre, ou, ce qui eft la même chose, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou eft contenue dans une autre, ou en marque l'égalité; il fuit qu'il n'y a que la Souftraction & la Divifion qui puiffent fervir à comparer les grandeurs.

1. La comparaifon de deux grandeurs par la Souftraction ; ou, ce qui eft la même chofe, la Souftraction elle même, eft nommée raifon ou raport arithmetique, Ainf

--

12 — 4 ; a — b, ouba, &c, font des raisons ou raports arithmetiques.

des

2. La comparaifon de deux grandeurs par la Division; ou, ce qui eft la même chofe, la Divifion elle-même est appellée raison, ou raport geometrique. Ainfi,ou;

, ou, &c. font des raisons ou des raports geomet.

12

On prend ici la Souftraction indiquée pour la Souftraction même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la compofent; & l'on prend de même la Divifion indiquée pour la Divifion même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment.

On appellera dans la fuite Réduction, le réfultat de ces deux Regles, ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les compofent.

L

COROLLAIRE I.

3.It eft clair que les raisons ou raports tant arithmeti, ques que geographiques, font égaux lorsque leurs Réductions font égales. Ainfi 12-416-8, parceque 12 —4—8, &16—8—8. De même, parceque

3

= 3, &=3, Par la même raison, fi=f,&

f; l'on aura÷

4. Mais les Réductions, ou les Quotiens des divisions, ou des raports geometriques, font toujours égaux, lorsque les dividendes contiennent, ou font contenues de même maniere dans les divifeurs. C'eft pourquoi lorfque une grandeur a contiendra, ou fera contenue dans une autre grandeur b,comme une troifiéme e contient ou eft contenue dans une quatrième d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports geometriques égaux,

COROLLAIRE II.

IL eft de même évident que les raisons, ou raports tant arithmetiques que geometriques, font inégaux, lorfque leurs Réductions font inégales, & que le plus grand eft celui dont la Réduction eft la plus grande.Ainfi 12

6: car 12

12

4>

4=8, & 10 64. De même

=>10: car=3, & 16

4

4

8

2.

6. Le premier terme d'un raport arithmetique, & le terme fuperieur d'un raport geometrique, font nommez antecedens; le fecond d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport geometrique, font nommez confequens. Ainfi dans les raports a—b, ·b, &, a est l'antecedent, & b le consequent : mais comme les raisons ou les raports geometriques ne font autre chose que des Divifions indiquées, & que ces Divifions font, à proprement parler, des fractions; il fuit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, divifion, & fraction; de forte que tout ce qu'on dira dans la fuite des uns, fe doit aufli entendre des autres. On remarquera feulement que pour parler comme les autres, lorfqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent; lorfqu'il s'agira de divifions, on les apellera dividende & divifeur; & lorfqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur.

7. Lorsque l'antecedent d'une raison est égale à son confequent, on l'appelle raifon d'égalité; & lorfque l'un furpaffe l'autre, on l'appelle raifon d'inégalité.

8. Lorfque l'antecedent d'un raport geometrique, contient plufieurs fois exactement fon confequent, il est nommé multiple de ce confequent, & lorfque l'antecedent eft contenu plufieurs fois exactement dans fon consequent, il eft nommé foùmultiple du même confequent.

9. De tels raports tirent leur dénomination du nombre de fois que l'antecedent contient le confequent, ou

f

y est contenu. De forte que fi l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. fon confequent, le raport fera nommé double, triple, quadruple, &c. & fi l'antecedent eft contenu deux,trois,quatre fois, &c. dans le confequent, le raport fera nommé foûdouble, foûtriple, soûquadruple, &c. Ainfi eft un raport triple, & eft un raport foûtriple

4

10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lefquelles fe trouve le figne d'égalité; xx =yy ; x = font des équations.

ainfi a=b; ax

de

ab

11. Les deux quantitez algebriques qui fe trouvent part & d'autre du figne d'égalité font nommées membres de l'équation; celle qui le precede eft nommée le premier membre, & celle qui le fuit, le fecond. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation font les expreffions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales.

L

COROLLAIRE.

12. Il est évident que deux raports égaux arithmetiques, ou geometriques,peuvent toujours former une équation. Ainfi fi a furpaffe, ou eft furpaffée par b, de la même quantité que furpaffe ou eft furpaffée par d, l'on aura toujours a — b=c-d, ou bad-c. De même fi a contient ou eft contenue dans b, comme c contient ou eft contenue dans d, l'on aura toujours ———,

C

ou

13. Mais fi au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou geometriques, on arange leurs quatres termes de fuite, en forte que l'antecedent de l'un des deux raports foit le premier, fon confequent, le fecond; l'antecedent de l'autre raport, le troifiéme, & fon confequent le quatrième, en féparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de

chaque raport par un feul point, en cette forte a. b :: c. d, (en fuppofant que a — b = c— b = c—d, ou = = =);onap

pellera proportion, ou analogic cette difpofition des quatres termes de deux raports égaux. De forte que proportion ou analogie, n'eft autre chofe que l'égalité de deux raports arangez autrement qu'en équation. Si les raports font arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique; s'ils font geometriques, on la nommera proportion geometrique.

14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci abc.d, on dira, fi else est arithmetique, a furpaffeb, ou eft furpaffée par b,comme c furpaffe d, ou eft furpaffée par d, & fi elle eft geometrique, on dira a contient b,ou eft contenue dans b,comme c contient d, ou eft contenue dans d. Mais pour abreger, foit que la proportion foit arithmetique, ou geometrique, on dit a eft à b, comme c eft à d, ou comme a est à b, ainsic eft à d, en obfervant neanmoins que le mot eft fignifie surpasse, ou eft furpaffe dans la proportion arithmetique; & que dans la geometrique, il fignifie contient ou eft contenu.

L'on diftingue deux fortes de proportions, tant arithmetiques que geometriques, la difcrete, & la continue. 15. La proportion difcrete eft celle dont les quatre termes font differens, comme celle-ci a. b: c. d.

16. La proportion continue, eft celle où la même quantité eft le confequent du premier raport & l'antecedent du fecond, comme celle-ci a. bb. c.

17. Les quantitez qui forment une proportion font nommées proportionnelles. Ainfi la proportion difcrete renferme quatre proportionnelles,& la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu eft nommée moyenne proportionnelle, arithmetique, ou geometrique, felon que la proportion eft arithmetique, ou geometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion; le premier & le dernier termes font nommés extremes,& les deux du milieu,moyens.

18. Lorfqu'une proportion continue renferme plus