Des Raisons, ou Raports, des Fractions, des Equations, & des Proportions.

II.

DEFINITIONS.

AISON, Ou Raport est la comparaison de deux

deurs nombres, deux lignes, deux furfaces, deux corps, deux espaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux vitesses d'un même, ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c.

Or comparer les grandeurs, c'est operer sur les grandeurs ; & comme l'on ne peut operer sur les grandeurs qu'en les ajoutant, soustrayant, multipliant, divisant, & en en extrayant les racines; il faut necessairement que leur comparaison se fasse par quelques-unes de ces ope

rations.

Mais parceque l'Addition, & la Multiplication les confondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi consiste précisément la comparaison des grandeurs, & que l'extraction des racines n'agit que fur une seule; & qu'au contraire la Soustraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excés de l'une pardessus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Division détermine combien de fois une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre; ou, ce qui est la même chose, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre, ou en marque l'égalité; il suit qu'il n'y a que la Soustraction & la Division qui puissent servir à comparer les grandeurs.

1. La comparaison de deux grandeurs par la Soustration; ou, ce qui est la même chose, la Soustraction elle même, est nommée raison ou raport arithmetique, Ainfi

12-43a-b, oub - a, &c, font des raisons ou des raports arithmetiques.

2. La comparaison de deux grandeurs par la Division; ou, ce qui est la même chose, la Division elle - même est appellée raison, ou raport geometrique. Ainfi,ou

b

ou

a

12

, &c. font des raisons ou des raports geomer. On prend ici la Soustraction indiquée pour la Soustra ction même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la composent; & l'on prend de même la Division indiquée pour la Division même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment.

On appellera dans la suite Réduction, le résultat de ces deux Regles, ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les compofent.

こ

COROLLAIRE I.

3.IL L est clair que les raisons ou raports tant arithmeti. ques que geographiques, font égaux lorsque leurs Réductions sont égales. Ainsi 12-4-16-8, parceque 12 -4=8,816-8= 8. De même = 2, parceque

12

4

c

3

12

4

3

= 3, & 3. Par la même raison, fi+=f& =f; l'on aura÷=÷

4. Mais les Réductions, ou les Quotiens des divisions, ou des raports geometriques, font toujours égaux, lorfque les dividendes contiennent, ou sont contenues de même maniere dans les diviseurs. C'est pourquoi lorsque une grandeur a contiendra, ou sera contenue dans une autre grandeur b, comme une troifiéme a contient ou est contenue dans une quatrièmed, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports geometriques égaux,

COROLLAIRE II.

COROLLAIRE II.

5. IL est de même évident que les raisons, ou raports tant arithmetiques que geometriques, font inégaux, lorsque leurs Réductions font inégales, & que le plus grand eft celui dont la Réduction est la plus grande. Ainfi 12 -4>

IO -6: car 12

4 = 8, & 10 : car =3, & = 2.

12

4

8

-6 = 4. De même

6. Le premier terme d'un raport arithmetique, & le terme superieur d'un raport geometrique, font nommez antecedens ; le second d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport geometrique, font nommez confequens. Ainsi dans les raports a-b, &, a est l'antecedent, & b le consequent : mais comme les raisons ou les raports geometriques ne font autre chose que des Divisions indiquées, & que ces Divisions font, à proprement parler, des fractions; il suit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, division, & fraction; de forte que tout ce qu'on dira dans la fuite des uns, se doit aussi entendre des autres. On remarquera seulement que pour parler comme les autres, lorsqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent; lorsqu'il s'agira de divisions, on les apellera dividende & diviseur; & lorsqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur.

7. Lorsque l'antecedent d'une raison est égale à son consequent, on l'appelle raison d'égalité; & lorsque l'un furpasse l'autre, on l'appelle raison d'inégalité.

8. Lorsque l'antecedent d'un raport geometrique, contient plusieurs fois exactement son consequent, il est nommé multiple de ce consequent, & lorsque l'antecedent est contenu plusieurs fois exactement dans son consequent, il est nommé foumultiple du même consequent. 9. De tels raports tirent leur dénomination du nombre de fois que l'antecedent contient le consequent, ou

f

y eft contenu. De forte que si l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. fon consequent, le raport sera nommé double, triple, quadruple, &c. & fi l'antecedent est contenu deux, trois, quatre fois, &c. dans le consequent, le raport sera nommé foudouble, foûtriple, fou

4

12

quadruple, &c. Ainsi est un raport triple, & eft un raport foûtriple,

10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lesquelles se trouve le figne d'égalité; ainsi a=b; ax

xxyy;

x=

sont des équations.

11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du signe d'égalité sont nommées membres de l'équation; celle qui le precede est nommée le premier membre, & celle qui le suit, le second. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation font les exprefsions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales.

COROLLAIRE.

12. IL est évident que deux raports égaux arithmetiques, ou geometriques, peuvent toujours former une équation. Ainsi si a furpasse, ou est surpaffée par b, de la même quantité que à surpasse ou est surpassée par d, l'on aura toujours De même fi a contient ou est contenue dans b, comme c contient

a

b=c-d, ou b

-

a=d

с.

6

ou eft contenue dans d, l'on aura toujours = ou 스스

6

d

C

on

13. Mais si au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou geometriques, arange leurs quatres termes de fuite, en forte que l'antecedent de l'un des deux raports foit le premier, fon consequent, le second; l'antecedent de l'autre raport, le troifiéme, & fon consequent le quatrième, en séparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de

chaque raport par un seul point, en cette forte a. b :: c. d,

pellera proportion, ou analogic cette disposition des quatres termes de deux raports égaux. De forte que proportion ou analogie, n'est autre chose que l'égalité de deux raports arangez autrement qu'en équation. Si les raports sont arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique ; s'ils font geometriques, on la nommera proportion geometrique.

14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a. b :: c.d; on dira, si elle est arithmetique, a furpafse b, ou est surpassée par b,comme c surpasse d, ou eft furpaflée par d, & fi elle est geometrique, on dira a contient b,ou est contenue dans b, comme c contient d, ou est contenue dans d. Mais pour abreger, soit que la proportion soit arithmetique, ou geometrique, on dit a eft à b, comme с est à d, ou comme a est à b, ainsic est à d, en observant neanmoins que le mot est signifie furpasse, ou eft furpasse dans la proportion arithmetique; & que dans la geometrique, il fignifie contient ou eft contenu.

L'on diftingue deux fortes de proportions, tant arithmetiques que geometriques, la difcrete, & la continue. 15. La proportion difcrete est celle dont les quatre termes font differens, comme celle-ci a . b :: c . d.

16. La proportion continue, est celle où la même quantité est le consequent du premier raport & l'antecedent du second, comme celle-ci a . b :: b. c.

17. Les quantitez qui forment une proportion font nommées proportionnelles. Ainsi la proportion difcrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu est nommée moyenne proportionnelle, arithmetique, ou geometrique, selon que la proportion est arithmetique, ou geometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion; le premier & le dernier termes sont nommés extrémes, & les deux du milieu, moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus