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de trois termes : ou plûtôt lorfque plufieurs grandeurs dont le nombre furpaffe 3, font rangées de fuite, de maniere que chacune d'elles puiffe fervir de confequent à celle qui la précede ; & d'antecedent à celle qui la fuit, cette rangée de grandeurs eft appellée progression, arithmetique ou geometrique, felon que les raports que les grandeurs qui la compofent ont entr'elles, font arithmetiques ou geometriques. A, B, C, font des progreffions arithmetiques. D, E, F, des progreffions geometriques.

19.

A.1.2.3.4.5, &c. D. 1.2.4.8.16, &c.
B. 10.8.6.4.2, &c.

C. 4.2.0—2—4, &c.

E. 81.27.9.3.1, &c.

F. 4.2.1

COROLLAIRE I.

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IL eft clair (no. 18.) que dans une progreffion arithmetique, l'excés d'un terme quelconque par-deffus celui qui le fuit, ou qui le précede, doit être toujours le même. De forte que fi on nomme le premier terme d'une progreffion arithmetique a; & l'excés qui regne dans la progreffion m, (m peut fignifier un nombre quelconque, entier, ou rompu, pofitif, ou negatif) l'on pourra former par le moyen de ces deux lettres, une progreffion arithmetique generale en cette forte, a.a+m.a✈✈ 2m. A + 3m, &c.

COROLLAIRE II.

20. IL L n'eft pas moins évident que fi dans la progreffion geometrique, l'on divife un terme quelconque par celui qui le fuit, la réduction, ou le quotient fera toujours le même, c'eft pourquoi fi l'on nomme le premier terme d'une progreffion geometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progreffion n ( n fignifie un nombre pofitif, entier, ou rompu), l'on pourra former une progreffion geometrique generale, en cette forte. &c. car fi une quantité 6 divisée

b.

b

n

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b

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b

ni

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par

une autre, donne au quotient n, la même quantité b, divifée par le quotient ʼn donnera cette autre.

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m::c.c

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21. Ceci fe peut auffi appliquer aux proportions tant arithmetiques que geometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique fuivante a . b: c. d, fi l'on nomme a-b, ou b―a, mic-dou dc fera auffi m; donc a ou a.a+m :: c. c +m, d'où l'on voit que la fomme des extrêmes eft égale à la fomme ala des moyens, c'est-à-dire, a+ cm = a + m + c, puifque ces deux fommes, qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez. 22. De même, fi dans la proportion geometrique fuivante a. b :: c. d, on fait —=n, l'on aura auffi

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voit auffi

que

20.)

le produit des extrêmes eft égal au pro

duit des moyens, c'est-à-dire,

ac

ac

: car ces deux

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n

produits qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

I

AXIOME I.

23. Si l'on ajoute, ou fi l'on fouftrait, ou fi l'on multiplie, ou fi l'on divife des quantitez égales par des quantitez égales ; les fommes, ou les differences, ou les produits, où les quotiens, feront égaux.

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COROLLAIRES.

IL fuit qu'on peut ajouter, foustraire, multiplier, ou divifer les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple, fia=b, &c=d, l'on aura a±c=b+d,oua±d =b+c; ac = bd, ou ad = bc;

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2o. Il fuit auffi de cet Axiome, & de ce que l'Addition & la Souftraction ont des effets contraires, que l'on peut

pailer tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équation dans l'autre en changeant fon figne, ce qu'on appelle tranfpofition. On peut même paffer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainfi cette équation a+b -cg fe peut changer en celle-ci a+b=g+c, ou en celle-ci a=g+c—b, ou en celle-ci a + b 3=0, ou o =g—a—b c: car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter de part & d'autre du figne d'égalité, parcequ'elle y eft fouftraite, ce qui donne a+b―c+c=g +c, qui se réduit à a+b=g+c. Il en eft ainfi des autres changemens.

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C

-

3°. Il fuit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les fignes d'une équation; car il n'y a qu'à fuppofer qu'on fait paffer tous les termes d'un membre dans l'autre ; & que l'on peut mettre feuls dans un des membres, les termes qu'on veut, avec les fignes qu'on veut.

4°. Il fuit encore du même Axiome, & de ce que la divifion détruit ce que fait la multiplication; & au contraire, qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un aprés l'autre, ou ce qui revient au même, la multiplier une feule fois par le produit de tous les dénominateurs, & enfuite réduire (art. 1. n°.37.) les termes fractionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette équation abx on la multiplira par c &

C

+ 8%

bcd

a

puis par a, ou une feule fois par ac,

aabcx

& l'on aura

➡acgxabecd:mais (art.1.n°37.) aabx, &

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abccd

aabcx

bccd; donc abcx+acgx= bccd qui n'a plus de fractions. L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs font des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires fans y rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénomi

nateurs. Ainfi

XX- AN

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pour

ôter la fraction de cette équation

c, ayant multiplié c par by,

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cy. Il en est ainsi des autres.

l'on aura xx

5c. Il fuit auffi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puiffance qu'on voudra d'une même lettre, qui fe trouve dans une équation,de toutes autres quantitez qui la multiplient; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puiffance: car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où fe trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'autre membre, & qu'à faire ensuite la réduction. Par exemple,fi dans cette équation ax = bc, l'on veut mettre x feule dans le premier membre, l'on aura en divisant mais (art. 1. n°. 37.)

toute l'équation par a

ax

bc

a

a

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réduit.

Si dans celle-ci ax➡ ab + bx — be, l'on veut avoir x feule dans un des membres, l'on aura en tranfpofa nt,& en fuppofant que a furpaffe b, ax --en divifant tout par a-b, l'on aura

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bx

ax bx

A

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Si dans cette équation ax― bx=aa- bb, l'on veut

avoir x feule, en divifant par a-b, l'òn aura

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=0

Si dans cette équation aaxx✈aayy— 2ax3 — 2axyy— xxyy l'on veut mettre yy feule dans le premier membre, l'on aura en tranfpofant aayy — 2axyy → xxyy — 2ax3— aaxx, & en divifant chaque membre par aaIl en eft ainfi des

2ax + xx,. l'on aura yy=

autres.

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aa2ax+xx

AXIOME II.

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24. LE s puiffances & les racines des quantitez égales font égales.

Ainfi fixa, l'on aura en quarrant chaque mem. bre xxda; & fixx aa, les racines feront x=+a; fi xx ab, les racines feront x=√ab. Si xx—— -ab, les racines feront x+V―ab, qu'on appelle racine imaginaire, parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, telles font toutes les quantitez irrationelles negatives. V2ax3. 24x3-axx les racines feronty=

Siyy:

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Vaa -zax + xx

mais (art. 1. no. 66.) √zax3 aaxxx√2ax

aa, &

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Si xx ax + bb, les racines feront x=

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I

✔aa+bb: car en tranfpofant, l'on a xx — ax—bb: or fi l'on extrait (art. 1, no. 62) la racine du premier membre xx―ax, on trouvera qu'il y manque ✈ ·aa, afin qu'il foit quarré; c'eft pourquoi en ajoutant de part & d'autre I aa+

4.

bb: mais vxx

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& la racine du fecond membre ne s'extrait que par le

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