étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales sont égales, que l'on peut délivrer une équation de quantitez irrationelles qui s'y rencontrent, ce qu'on appelle faire évanouir les signes radicaux : car s'il ne s'y en renconcontre qu'une, aprés l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainsi pour délivrer des quantitez irrationelles, cette équation xx = a-xx

Vxx yy, l'on aura en divisant par a-x

√xx+yy, ou en divisant par √xx + yy,

xx

xx

Vxx +yy

-x, & en quarrant chaque membre, l'on aura

=

a

x4

xx + yy

aa-2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles.

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & enfuite de l'autre, comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationelles, cette équation √xx+vy+Vaa-2ax+xx+yy=b, l'on aura en trans posant, Vaa-2ax+xx+y= =6- √xx + yy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa - 2ax+xx + yy - 2b√xx + yy + xx+yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & transposant, il vient 26√xx+yy ==bb-aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 46bxx + 4bbyy6+2aabb+a++ 4abbx-4x + 4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles.

=

AXIOME III.

25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle substituer:

8

C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduit plus sieurs équations à une seule, & que l'on en fait évanouir les lettres que l'on veut, pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques unes de leurs puissances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

26. On choisit une des équations (c'est ordinairement la plus fimple) & l'on met seule (Axio. 1. & ses Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir, dans un des membres; (c'est ordinairement dans le premier), & l'om substitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de ses puissances, sa valeur, ou celle de ses puissances, qui se trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée; en forte que cette lettre ne se trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choisir la plus fimple des équations résultantes, & l'on met seule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir, & l'on substitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On réïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une aprés l'autre, toutes les lettres que l'on a dessein de faire évanouir, ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation. On va éclaircir ceci par des Exemples.

B. x-y=a. E. x-b+z=a.

C.

z+y=b. F. az+bz-zz=66-2bz+z G. 222=3bz+az-bb.

Je choisis l'équation C pour faire évanouiry, & j'en tire y b z, & en quarrant chaque membre (parce

:

que le quarré de y se trouve dans l'équation A,) j'ai yy =66-262+, & mettant dans l'équation A, pour yy sa valeur bb - 2bz+zz, & dans l'équation B, pour y la valeur 6-z, j'ai les deux équations D & G, où y ne se trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E pour faire évanouirx, & j'en tire x = a+b-z, & mettant dans l'équation D pour x sa valeur a + b - z, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la tranf. position, l'équation G, où x & y ne se trouvent plus.

25. Soient les deux équations aa + 2ax + xx = 2yy +2by+bb, & yy + by aa+ax, d'où il faut faire évanouir y. Je remarque que si la seconde équation étoit multipliée par 2, l'on auroit 2yy + 2by = 2aa + 2ax, où les termes où y se trouve, font les mêmes que dans la premiere; c'est pourquoi si l'on met dans la premiere pour 2yy + 2by sa valeur + 2aa + 2ax tirée de la seconde, aprés l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa+ 2ax + xx=2aa + 2ax + bb, qui se réduit à xx = aa +bb. Il en est ainsi des autres.

27. On peut encore parle moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple, si l'on a x =aab, en supposant ay = xx ; & mettant cette valeur de xx dans l'équation x3 = aab, l'on aura axy=aab, ou xy = ab; en divisant toute l'équation par a.

=

De même, si l'on a xx=ax+bb, en supposant ac bb, l'on aura xx = ax +ac ; & fi l'on a xx = ax + ac, en supposant bb = ac, l'on aura xx = ax + lb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a souvent besoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire sur les équations: voyez l'Application de l'Algebre à la Geometrie, Section I. art. 2 & 3. On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres, un grand nombre de Theorêmes démontrez sur les raports, proportions, & progreffions; mais il y manque la Méthode de les démontrer tous par le mê

me principe, qui est ce qu'il y a de plus à desirer tant en cette occafion que dans toutes les autres parties de Ma thematiques.

On pourroit tirer de ce que nous avons dit no. 18,19. 20, & 21, une Méthode pour démontrer tres-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progreffions tant arithmetiques que geometriques: mais elle n'est pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles ; c'est pourquoi je me fuis déterminé à pren dre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non feulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on se propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties de Mathematiques. Voici le principe.

PRINCIPE.

28. APRE'S avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en suivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corollaires, on fera en forte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence, & alors le Theorême sera démontré. Et fi les termes de l'équation que renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables; de forte que par la réduction, elle puiffe devenir 0=0. Le Theorême sera aussi démontré: car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement semblables fans être égaux, & ne sçauroient se détruire sans être femblables.

EXPLICATION DU PRINCIPE.

1o. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer.

2°. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aise de changer en équation: carfilona, abc, d, l'on aura (no. 11.)

:

b

-b=c-d, fi la proportion est arithmetique, &

= fi la proportion est geometrique, puisque

proportion n'est autre chose que l'égalité de deux raports.

3o. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par ces Exemples.

4o. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra : car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence.

ou

<, &

d

Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothese, & la confequen ce par le moyen du signe >, ou <, en cette forte a> ou<b> on se servira de ces expressions, que l'on pourroit appelfer inegalitez, comme fi c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point en semble, sans que le membre le plus grand cesse d'être le plus grand; de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence, ou la Consequence semblable à l'Hypothese, que si c'étoit des équations, & de démontrer par consequent toutes les proprietez desraports inégaux, de la même maniere que celles des raports égaux.

Ce qu'on dira dans la suite des raports & des proporrions, se doit entendre des raports & proportions geome rriques, à moins qu'on n'avertisse que c'est des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler.