Imágenes de páginas
PDF
EPUB

étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'eft auffi parceque les puiffances des quantitez égales font égales, que l'on peut délivrer une équation de quan titez irrationelles qui s'y rencontrent, ce qu'on appelle faire évanouir les fignes radicaux : car s'il ne s'y en renconcontre qu'une, aprés l'avoir mife feule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens ; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour expofant celui du figne radical. Ainfi pour des quantitez irrationelles, cette équation x √xxyy, l'on aura en divifant par a—x,

√xx+yy, ou en divisant par √xx →yy,

délivrer

xx a·

xx

a -x

xx

[ocr errors]

--x, & en quarrant chaque membre, l'on aura

XX

xxyy

= aa—2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles.

Mais s'il fe rencontre deux quantitez irrationelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & enfuite de l'autre, comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationelles, cette équation √xx+vy +Vaa—2ax+ xx+yy= 2ax+ xx+yy—b, l'on aura en trans, pofant, Vaa―zax+xx+yy=b— √xx + yy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa—2ax + xx + yy = bb — 2b√xx+yy + xx+yy, & en ôtant ce qui fe détruit par la réduction,& tranfpofant, il vient 2b√xx+yy -aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx+4bbyy = b+ — 2aabb ✦ a++4abbx— 4'x +4аaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles. AXIOME III.

=

25.

bb

N

[ocr errors]

On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle fubftitucr: g

C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduit plu fieurs équations à une feule, & que l'on en fait évanouir les lettres que l'on veut, pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques unes de leurs puiffances fe trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

[ocr errors]

26. On choisit une des équations (c'eft ordinairement la plus fimple) & l'on met feule ( Axio. 1.& fes Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir, dans un des membres; (c'eft ordinairement dans le premier), & l'on fubftitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de ses puiflances, fa valeur, où celle de fes puiffances, qui fe trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée; en forte que cette lettre ne fe trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choisir la plus fimple des équations résultantes, & l'on met feule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir, & l'on fubftitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On réïtere la même operation jufqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une aprés l'autre, toutes les lettres que l'on a deflein de faire évanouir,ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une feule équation. On va éclaircir ceci par des Exemples.

EXEMPLES..

1. SOIENT les trois équations A, B, C, dont on veut faire évanouir les deux lettres x & y.

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

ཨོྃ + ༢ = 4.

༢<.

[ocr errors]

C. 2+y=6. F. az + bz ཡ = ༢༢ — d↓ — zóལཱ + ་ུ G. 2zz=3bz+az — bb.

[ocr errors]

,

Je choifis l'équation C pour faire évanouir y & j'en tire yb, & en quarrant chaque membre (parce

[ocr errors]

-

que le quarré de y fe trouve dans l'équation A,) j'ai yy =bb — 2bz+zz, & mettant dans l'équation A, pour fa valeur bb 2bz+zz, & dans l'équation B, pour y fa valeur b―z, j'ai les deux équations D & G, où y ne fe trouve plus. Je choifis de nouveau l'équation E pour faire évanouir x, & j'en tire x=a+b—z,& mettant dans l'équation D pour x fa valeur a+b —z, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la tranf. pofition, l'équation G, où x &y ne fe trouvent plus.

+ 2xx,

[ocr errors]

2o. Soient les deux équations aa✦ 2ax + xx=237 → 2by + bb, & yy → by = au ✦ ax, d'où il faut faire évanouir y. Je remarque que fi la feconde équation étoit multipliée par 2, l'on auroit 2yy2by où les termes où y fe trouve, font les mêmes que dans la premiere, c'eft pourquoi fi l'on met dans la premiere pour 2yy+ 2by fa valeur + 2aa2ax tirée de la feconde, aprés l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa → 2ax + xx=2aa + 2ax + bb, qui fe réduit à xx =aa +bb. Il en eft ainfi des autres.

27. Op peut encore par le moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faifant certaines fuppofitions. Par exemple, fi l'on a x3=aab, en fuppofant ay=xx ; & mettant cette valeur de xx dans l'équation x3 aab, l'on aura axy=aab, ou xy= ab; en divifant toute l'équation par a.

[ocr errors]

De même, fi l'on a xxax+bb, en fuppofant ac bb, l'on aura xx = ax+ac ; & fi l'on a xx = ax+ ac, en fuppofant bb ac, l'on aura xx = ax + lb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a fouvent befoin de faire ces changemens.

Pour ce qui refte à dire fur les équations: voyez l'Application de l'Algebre à la Geometrie,Section I. art. 2 & 3.

On trouve dans les Ouvrages de plufieurs Sçavans Geometres, un grand nombre de Theorêmes démontrez fur les raports, proportions, & progreffions; mais il y manque la Méthode de les démontrer tous par le mê

me principe, qui eft ce qu'il y a de plus à defirer tant en cette occafion que dans toutes les autres parties de Ma thematiques.

On pourroit tirer de ce que nous avons dit n°. 18, 19: 20, & 21, une Méthode pour démontrer tres-facilement: toutes les proprietez des proportions, & des progreffions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'eft pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles ; c'est pourquoi je me fuis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non feulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on fe propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties de Mathematiques. Voici le principe.

PRINCIPE.

28. A PRE's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothefe en équation, & la confequence auffi en équation; & en fuivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corollaires, on fera en forte de rendre l'Hypothefe femblable à la confequence, & alors le Theorême fera démontré. Et fi les termes de l'équation que renfermera la confequence, fe trouvent entierement femblables; de forte que par la réduction, elle puiffe devenir o o. Le Theorême fera auffi démontré: car les termes d'une équation ne fçauroient être entierement femblables fans être égaux,, & ne fçauroient fe détruire fans être femblables.

EXPLICATION DU
DU PRINCIPE.

1o. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Confequence; l'Hypothefe eft ce que l'on y fuppofe; & la Confequence eft la verité qu'il s'agit de démontrer.

2°. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothefe en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il eft aifé de changer en équation: car fi l'ona, a.bc,d, l'on aura (n°. 11.);

b

—b=c—d, fi la proportion eft arithmetique, & =, fi la proportion eft geometrique, puisque proportion n'est autre chofe que l'égalité de deux raports.

3o. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prifes arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par ces Exemples. 4°. On tirera de l'Hypothefe autant d'équations qu'on Pourra: car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre l'Hypothese femblable à la Consequence.

Lorfqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothefe, & la confequen ce par le moyen du figne >, ou <, en cette forte a> ou <b,-> ou <-, & on fe fervira de ces expreffions, que l'on pourroit appelfer inégalitez, comme fi c'étoient des équations: car il eft clair qu'on peut ajouter, fouftraire, multiplier, & divifer les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puiffances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point enfemble, fans que le membre le plus grand ceffe d'être le plus grand, de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothefe femblable à la Confequence, ou la Confequence femblable à l'Hypothefe, que fi c'étoit des équations, & de démontrer par confequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celles des raports égaux.

Ce qu'on dira dans la fuite des raports & des propor-tions, fe doit entendre des raports & proportions geome triques, à moins qu'on n'avertiffe que c'eft des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler.

« AnteriorContinuar »