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Λ

THEOREME I.

29. SI quatre grandeurs a,b,c,d, font en proportion geometrique, le produit des extrémes fera égal au produit des

moyens.

b

Il faut prouver que fia, b: c. d, l'on aura adbc. L'on a par l'Hypothese a. bc. d; donc (no. 11.)

c

:

oril eft clair (Axio. 1. Coroll. 4. ) qu'en ôtanț

les fractions, on aura ad=bc, qui est semblable à la Confequence. C. Q. F. D.

bb.

30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes eft égal au quarré de la moyenne. Ainfi fi a, b :: b. c, l'on aura ac= Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous fervirons dans la fuite, de changer une proportion en équation.

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COROLLAIRES,

e

1o. I L fuit que connoiffant trois des termes a,b,c, d'une proportion, on pourra toujours trouver le 4° que je nomme x: car puifque (Hyp.) a. b:: c. x, l'on aura ( n°. 29.) ax= bc; donc en divifant toute cette équation par a, , d'où l'on voit que la valeur de be divi

Pon aura x

bc

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fée par la valeur de a, donnera celle de x.

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2. De même dans la proportion continue, connoif fant les extrêmes a & b, on trouvera la moyenne que je nomme y; car puifque (Hyp.) a. y :: y. b, b. l'on aura yy=ab; & partant (Axio. 2. ) y = ± √ab; c'est pourquoi la racine de la valeur de ab fera la valeur de y. Les valeurs negatives ne fatisfont point aux Problêmes. On en expliquera l'ufage ailleurs.

A

THEOREME II.

31. LE ES racines des produits qui forment chaque membre d'une équation font reciproquement proportionnelles, c'est-à-dire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrêmes, &les racines de l'autre, Les moyens, ces quatre racines formeront une proportion.

pour

ab

Soit l'équation abc = dfg. Il faut prouver que ab. df:: g.c, ou afin que la confequence foit en équation g

df

C

: car l'équation ne peut être vraye que la pro

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yer.

COROLLAIRES.

O N peut tírer de la même équation abcdfg plufieurs autres proportions, & les démontrer de la même maniere, pourvû qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimenfions exemple, on en peut tirera. d:: fg. bc; b. f :: dg.ac, &c. mais quoiqu'on le puiffe, on n'en doit pas tirer a. df 3. be: car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en eft ainfi des

autres.

: par

2o. Il est clair qu'afin qu'une équation puiffe être réduite en proportion, il faut que chaque membre foit le produit de deux quantitez qui fe puiffe féparer par la divifion; c'eft pourquoi il eft fouvent neceffaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exem ple, on ne peut réduire cette équation xxax+bben proportion dans l'état où elle eft: car le fecond mem

1

bre ne peut être divifé par aucune quantité: mais en tranfpofant, l'on a xx-ax-bb, d'où l'on peut tirer x . bb. xa. De celle-ci xx — øα — bb, on peut tirer a — b.x:: x . a+b. De celle-ci xx=aa + bb, ou xx — aa—bb, on peut tirer x-a. b::b. xa. Mais pour changer celle-ci xxaa- be en proportion; il faut changer be en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté foit b, ou c; faifant donc, par exemple, bc= = dd l'on aura xx=aa-dd, d'où l'on tire ad.xx. a +d. Il en eft ainfi des autres.

3. Il fuit auffi qu'un raport ou une fraction comme

ab

C

eft un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres: car faifant =x, l'on aura en multipliant ab =cx; cx; donc (n°. 31,) c.a :: b. x, ou c. a :: b. ab en remettant pour x fa valeur

parc,

ab

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C

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ca:

4°. Il fuit auffi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c,d, feront proportionelles, Ceft-à-dire que a. b:: c. d, elles feront auffi proportionelles dans les quatre variations fuivantes.

1. a. c. b. d, ce qu'on appelle, permutando.

2. b. ad. c, ce qu'on appelle, invertendo.

3. a + b. b :: c +d, d, ce qu'on appelle, componendo. 4. ab. b:: cd.d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (no. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront aufli. Or la premiere & la feconde analogie donnent ad =bc, la troifiéme donne ad + bdbcbd, & la quatrieme ad -- bdbc-bd: mais l'Hypothefe a . b::c.d, donnée ad = bc, qui eft la premiere équation, & qui montre par confequent la verité des deux premieres analogies.

Si l'on ajoute, & fi l'on fouftrait bd de chaque membre de l'équation ad bc tirez de l'Hypothefe, l'on bdbcbd, qui font femblables

aura ad + bd—bc + td, & ad

femblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par confequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

A

THEOREME III.

32. SI deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une mème grandeur C, rationelle, ou irrationelle, les produits ac & bc, feront en même raifon que les mêmes quantitez & b.

a,

Il faut prouver que ac. bc :: a.b, ou, afin que la confequence foit en équation, que (n°. 29.) abc=abc. Parceque les deux membres de cette équation font femblables, il fuit (no. 29, &31.) que ce qui étoit propofé est

vrai.

L

COROLLAIRES.

1o. I 1 eft clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux confequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports ceffent d'être égaux.

2. Et parceque les raports, ou les divifions indiquées font des fractions, il fuit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra fans que cette fraction change de valeur. Ainsi

en multipliant les deux termes par c.

a

b

ac

bc

3. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien; c'eft pourquoi toute quantité qui n'eft point fractionnaire, peut être changée en une fraction, dont le dénominateur fera telle quantité qu'on voudra. Ainfi a ou == ;, en multipliant chaque terme par b.

I

h

4. Il fuit auffi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs femblables, lorfqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination: car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainfi pour réduire à même dénomination &f, ayant multiplié les deux termes de la pre

miere

ab

par g,

abg

& ceux de la feconde parc, l'on aura cg

& S'il y en a un plus grand nombre,on multipliera les z

cg

termes de chacune par le produit des dénominateurs des

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ידי

f g

en même déno

mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la feconde par dg, & ceux de la troifiéme par df, l'on aura fg bdg cdf

dfgdfgdfg

Il fe trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, fans les changer toutes d'expreffion. Ainfi abb & sh, feront réduites en même dé

cd

nomination, en multipliant les deux termes de la fecon. de par d: car l'on aura

dgh

cd

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5. Il fuit encore que c'est la même chofe de divifer le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier fon numerateur par la même quan

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