29. S I quatre grandeursa, b, c, d, font en proportion geometrique, le produit des extrémes fera égal au produit des moyens. Il faut prouver que si a . b :: c . d, l'on aura ad=bc. L'on a par l'Hypothese a. b :: c. d ; donc (no. 11.) : or il est clair (Axio. 1. Coroll. 4.) qu'en ôtant les fractions, on aura ad=bc, qui est semblable à la Con sequence. C. Q. F. D. 30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes est égal au quarré de la moyenne. Ainsi si a. b :: b.c, l'on aura ac = bb. Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous servirons dans la suite, de changer une proportion en équation. er COROLLAIRES. a. e "I L fuit que connoissant trois des termes a, b, c, d'une proportion, on pourra toujours trouver le 4o que je nomme x: car puisque (Hyp.) b::c.x, l'on aura (n°. 29.) ax = bc; donc en divisant toute cette équation par a, l'on aura x = d'où l'on voit que la valeur de be divisée par la valeur de, donnera celle de x. bc د a & b, 2. De même dans la proportion continue, connoif sant les extrêmes on trouvera la moyenne que je nomme y; car puisque (Hyp.) a. y::y. b, l'on aura yy = ab; & partant (Axio. 2.) y = + Vab; c'est pourquoi la racine de la valeur de ab fera la valeur de y. Les valeurs negatives ne fatisfont point aux Problêmes. On en expliquera l'usage ailleurs. A THEOREME II. 31. LE S racines des produits qui forment chaque membre d'une équation font reciproquement proportionnelles, c'est-à-dire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrêmes, & les racines de l'autre pour les moyens, ces quatre racines formeront une proportion. Soit l'équation abc = dfg. Il faut prouver que ab. df:: g.c, ou afin que la consequence foit en équation = df C ab 8 : car l'équation ne peut être vraye que la proportion ne le soit aussi. En divisant toute l'équation abcdfg, par ge, l'on rer. On peut tirer de la même équation abc = dfg plirsieurs autres proportions, & les démontrer de la même maniere, pourvu qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimensions: par exemple, on en peut tirera. d:: fg. bc; b. f :: dz.ac, &c. mais quoiqu'on le puisse, on n'en doit pas tirer a. df g.bc: car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en est ainsi des autres. 25. Il est clair qu'afin qu'une équation puisse être ré. duite en proportion, il faut que chaque membre foit le produit de deux quantitez qui se puisse séparer par la division; c'est pourquoi il est souvent necessaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx = ax+bben proportion dans l'état où elle est: car le second mem. :: a. De celle-ci xx = aa bre ne peut être divisé par aucune quantité: mais en transposant, l'on a xx-ax=bb, d'où l'on peut tirer x . bb.x bb, on peut tirer a-b.xx.a+b. De celle-ci xx=aa + bb, ou xx - aabb, on peut tirer x - a. b:: b. x+a. Mais pour changer celle-ci xx = aa - be en proportion; il faut changer be en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté soitb, ou c; faisant donc, par exemple, bc=dd l'on aura xx ===aa-dd, d'où l'on tire a-d.x::x.a +d. Il en est ainsi des autres. ab 3. Il suit aussi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres: car faisant ab =x, l'on aura en multipliant c.ab.x ab parc, ab == x; donc (no. 31.) C ouc.a :: b. 4. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, feront proportionelles, c'est-à-dire que a. b :: c. d, elles feront aussi proportionel les dans les quatre variations suivantes. r 1. a. cb.d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a :: d. c, ce qu'on appelle, invertendo. 3. a+b.bc+d. d, ce qu'on appelle, componendo. 4. a-b.bc-d.d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (no. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront aufli. Or la premiere & la feconde analogie donnent ad =bc, la troisieme donne ad+bd=bc+bd, & la quatrieme ad -bd = bc-bd: mais l'Hypothese a. b :: c.d, donnée ad = bc, qui est la premiere équation, & qui montre par confequent la verité des deux premieres analogies. Si l'on ajoute, & fi l'on soustrait bd de chaque membre de l'équation ad = bc tirez de l'Hypothese, l'on aura ad+bd=bc+bd, & ad - bdbc-bd, qui sont semblables : semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par consequent voir la verité. Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité. A THEOREME III. 32. S I deux grandeurs quelconques a & b, sont multipliées par une mème grandeur c, rationelle, ou irrationelle, les produits ac & bc, feront en mème raison que les mèmes quantitez a, & b. Il faut prouver que ac bc :: a.b, ou, afin que la consequence soit en équation, que (n°. 29.) abc = abc. Parceque les deux membres de cette équation sont semblables, il suit (no. 29, &31.) que ce qui étoit proposé est vrai. COROLLAIRES. 1. I 1 est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux consequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports cessent d'être égaux. 25. Et parceque les raports, ou les divisions indiquées font des fractions, il suit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra sans que cette fraction change de valeur. Ainsi en multipliant les deux termes par c. b ac bc 3o. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien; c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction, dont le dénominateur sera telle quantité qu'on 4. Il suit aussi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs semblables, lorsqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination: car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainsi pour réduire à même dénomination cg 8 cg &, ayant multiplié les deux termes de la premiere par g, & ceux de la seconde part, l'on aura ra abg & af. S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les z termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainsi pour réduire en même déno mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la seconde par dg, & ceux de la troi fiéme par df, l'on aura afg bag caf dfg dfg dfg Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, sans les changer toutes d'expression. Ainfi abb &, feront réduites en même dénomination, en multipliant les deux termes de la fecon. de par d: car l'on aura cd dgh 5. Il suit encore que c'est la même chose de diviser le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier fon numerateur par la même quan |