33. A THEOREME IV. Si l'on divife deux grandeurs quelconques a & ↳ par une même grandeur c, rationelle ou irrationelle; les quotiens b 2 & 21⁄2, feront en mème raison que les premieres grandeurs a&b. fequence foit en équation, que bpaq. la La premiere équation (Axio. 1. Coroll. 4.) donne a=cp, & la feconde, bcq, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. acq=bcp, ou en divifant parc, aq=bp; donc (Th. 2.) a b 1.) p . q :: a. b, ou -- :: a. b, en remettant pour p; & On pourroit démontrer ce Theorême en cette forte. L'hypothese. b C :: a . b; donne ( Theor. 1.) ab qui eft une équation évidente par elle-même. ab 2. C'eft auffi par le moyen de ce Theorême que l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus fimples expreffions. Ce qui fe fait en divifant l'antecedent & le confequent de chaque raport par une même quantité, que l'on nomme, commun divifeur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la proposée, mais plus fimple. Or if est souvent aifé d'apercevoir ce commun divifeur, & particulierement quand les deux termes du raport que l'on veut réduire font incomplexes. Mais fi on ne l'aperçoit pas par la feule infpection des termes, on cherchera (art. i. n°. 56, ou 57.) tous les divifeurs de l'antecedent, & tous ceux du confequent ; & les divifeurs de l'antecedent qui fe trouveront auffi parmi ceux du confequent, feront des divifeurs communs; mais on ne fe fervira que du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui fe trouve auffi parmi ceux du confequent, la fraction ne pourra être réduite à de plus fimples termes. EXEMPLE S. fant chaque terme par leur commun diviseur a. abybd xVg en divifant les parties ra en divifant les parties ra d tionelles par c, & les irrationelles par Va. Exemple 3. abcVabc abVac tionelles parc, & les irrationelles par Vb. Exemple 4. —=—=1, en divifant les deux termes 3 3 par a3: Mais (art. 1. n°. 22.) '—a ̊; donc a° =1, ce que nous avions fuppofé dans l'endroit que nous venons de citer. I Exemple 5.—=—,en divifant chaque terme para': mais (art. 1° n°. 22.) 3 2 ; donc a I ce que nous avions encore fuppofé au même endroit. A THEOREME V. 34. Si l'on divife une même quantité a, par des quantitez differentes b&c, les quotiens feront reciproquement proportio nels à leurs divifeurs. la con 7=p, &==q, que p. q :: c. b, ou afin que fequence foit en équation, que bp =cq. La premiere fuppofition donne a = bp, & la feconde a=cq; donc (Axio. 3.) bp =cq; & partant (Theor. 2. ) p.q:: c.b, ou t ::c.b, en remettant pourp, & a b a pour q, leurs valeurs, &. C. Q. F. D. On pourroit démontrer plus fimplement ce Theorême : car la consequence.c.b donne (Theor. 1.) ab b ou 35. ac I ,'ou (art. 1. n°. 37.) a = a, ou, a — a = 0, A THEOREME VI. S 1 trois grandeurs a, b, c, font en proportion continue la premiere a, fera à la troifiéme c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la feconde bb. Il faut prouver que a. c :: aa. bb, ou, afin que la confequence foit en équation, que aas=abb. L'on a (Hyp.) a. b :: b. c; donc ac = bb, & partant aac abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F. D. A THEOREME VII. 36. LORSQUE plufieurs raports font égaux, comme &c. La fomme des antecedens a+c+d, eft à la fomme des confequens b+d+e, comme celui qu'on voudra des antecedens, eft à fon confequent. Il faut prouver que a +c+d.b+d+e: a. b, ou afin que la confequence foit en équation, que ab+bc +bd—ab +ad+ae,ou en ôtant de part & d'autre le terme ab qui fe détruit par la réduction, bc+bd—ad+ae. Les deux premiers raports égaux (Hyp.) donnent ad= bc, le premier & le troifiéme donnent ae=bd; donc (Axio. 1. Coroll. 1.) bc + bdadae. C, Q.F.D, COROLLAIRE, 37. IL fuit de ce Theorême, que connoiffant les deux premiers termes a &b, & le dernier c, d'une progreffion geometrique, on trouvera aisément la fomme de tous les termes qui la compofent: car nommant la fomme des antecedens x; la fomme des confequens fera x— a +c. Or par ce Theorême, x.x-a+ca. b; donc (Theor. i. ) bx=ax — aa✦ ac ; ou, en tranfpofant, & en fuppofant a >b, ax — bx = aa- ac; d'où l'on a. Ce qu'il falloit trouver. tire (Axio. 1.Cor. 5.) x: Si ab, ou ce qui eft la même chofe, fi la progreffion va en diminuant, & qu'on la fuppofe infinie, en faisant le dernier terme co, l'on aura x= aa pour la va leur de tous les termes de la progreffion; car le terme ac le détruit à caufe de co. THEOREME VIII. 38. LA plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand raport à une troifiéme grandeur c que la plus petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport à la plus petite ↳ qu'à la plus grande a. L'on a par l'Hyp. a > b ; donc ( par le principe pré a cedent, & ses explications) >, en divifant cha que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il falloit pre mierement démontrer. L'on a encore (Hyp.) ab, donc en multipliant chaque membre de cette inégalité par c, & divifant chaque membre par ab, AC bc ab, l'on aura > ou (art. 1. n°. 37.) ab abs Ce qu'il falloit en fécond lieu démontrer. Nous avons fuppofé dans la Multiplication, & dans la Divifion, que +x+, &— X —— donnoit+; & que + x—, ou — x+donnoit-. En voici la preuve, en fuppofant feulement que x → donne+, dont personne ne doute. 39. Soitab à multiplier parc. Je dis que le produit fera ac-bc: -be: car ayant fuppofé a-b―p; l'on aura en tranfpofant a=p+b, & multipliant cette équation par+c, l'on aura ac =pcbc; donc entranfpofant, ac - bepc; donc abx+c=ac-bc. b 40. Soit prefentement a—bà multiplier par— c. Je dis que le produit fera-ac+ be: car ayant fuppofé a =p, l'on aura en tranfpofant a=p+b; donc en multipliant par -c, l'on aura ( no. 39.) ac •pc-bc -pc; donc a — b x — c —— ac + bc. Ou ac+ bc = pas b: car le produit du divifeur par le quotient, doit donner le dividende, ce qui n'arriveroit fr le quotient étoit+b: car—ax+b =-ab, qui n'eft point le dividende. Au contraire a x − b = +ab, qui eft la quantité à diviser. ab ab 42. Il est de-là évident que ===“, puisque dans l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons auffi supposé ailleurs. OUT REMARQUÉ. 1o. Tout le Calcul algebrique est fondé fur les trois Axiomes précedens, & fur les quatre premiers Theorê ་ |