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mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe , & que par son moyen , on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprietez des raports égaux , & inégaux, des proportions, & des progressions geometriques.

2°. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprie. tez desraports,proportions,& progressions arithmetiques.

3°. Que l'équation qui exprime la consequence ou la verité que

l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de fignes radicaux, & réduite à ses plus simples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir.

Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser, & extraire les racines des raports, ou fractions.

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cas,

ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite fans chan

, ger aucun signe ; & pour les soustraire , on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominateur soit le même , ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur; & aprés avoir réduit (art. 1. no. 11.) dans l’un & l'autre

lęs numerateurs semblables , on prendra pour la somme, ou pour la difference , celles des deux expresfions qui serà la plus simple,

EXE M P LE S. ab

ad Pour ajouter

avec as,

abt ad a

l'on aura Pour ajouRab+ arbb

a8b+ ter

avec

l'on écrira
- 244bb + 6+
Do 66,

*** — 2exbb + bt nable

ou aprés les avoir réduites en même dénobb?

mination

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- bb

AA

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l'on écrira 14 --- bb

C

nac - bbc

abc

nateur

aad to bbd

od

aabt at afbb - aubt mination,

(art. 1, no. 11.) A4 — 21abb +64 quicst une expresion plus simple que la premiere. Pour foustraire aba de ind, ou, aprés leur avoir donné un même dénomi

La premiere expression est la plus simple.

MULTIPLICATION. 4. O x multipliera les numerateurs, & ensuite les dé. nominateurs l'un par l'autre ;

l'autre ; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. Soit o à multiplier par un. Ayant supposé : =f,&

bo

q. Il faut prouver que =pq La premiere supposition donne ac= bp, & la seconde, bc=dq; donc ( Axio. i. Coroll. 1. ) abcc bdpq; donc (Axio. 1. Coroll.s.) a =29=

=

C.I.F. D. De même x 6+ ou ( Theor. 3. Coroll. 3. )

79

44.

AC

AC

be d

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b

ACE

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termes pas b. Par la même raison xd, on

DE'FINITION.
de deux raports differens &

as est appllé raport composé , ou raison composée ; & le produit

d'un raport , multiplié par lui-même, est appellé raport doublé, ou raison doublée.

Le produit

45.

bd

bb

1 DIVISION. 46. Le produic du numerareur du dividende par le dénominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur , sera le dénominateur du quotient, On réduira ensuite le quocient à son expression la plus simple. Soit proposé le rapport à diviser

à diviser par Ayant

. supposé * = P, &m=q. Il faut prouver que

ab

AC

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acb

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ACC

bb

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CC

ab

CP

AC

bb

parc

abb >

ACC

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AC

AC bd

b

La premiere supposition donne ab cp; la seconde, a=bq; donc( Axio. 1. Coroll. 1.)

, ou, en mul

bq tipliant chaque membre parb, & divisant chaque membre

C.Q.F.D.
De même . divisé par d, ou par, donne

EXTRACTION. Des racines des quantitez frationnaires. 47. Il est clair par les regles de la multiplication des fra

I ctions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à ex. traire celle du numerateur , & celle du dénominateur & ces deux racines formeront une fraction, qui sera la racine de la proposée. Ainsi v

4bcc Il en est ainsi des autres.

Les mêmes operations sur les fractions irrationelles n'ont rien de particulier.

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SECTION PREMIER E. l'on donne les définitions et les principes generaux qui servent pour resoudre les Problèmes, egy

démontrer les Theorémes de Geometrie,

a

DE'FINITION S. 1.

L y a deux fortes de propositions dans la Geometrie , ausquelles on peut appliquer l’Algebre , qui sont les Theo rèmes & les Problêmes.

1. Les Theorêmes sont des proposi

tions qui contiennent des veritez Geo. metriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut seulement démontrer.

А

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2. Les Problêmes sont d'autres propositions qui demandent que l'on fasse quelqu'operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite , satisfait à la

queftion. Ce qui s'appelle resoudre le Problême.

Il y a des Problèmes déterminez, & d'autres indéterminez.

3. Les Problèmes déterminez sont ceux qui n'ont qu'une seule solution, ou qu'un nombre déterminé de solutions. Si l'on propose, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce

Problême ne peut avoir qu'une seule solution ; mais si Fig. 1, l'on propose de couper une ligne donnée AB en un point C, en sorte que le rectangle AC *CB soit égal

c
au quarré d'une autre ligne donnée E F; il est clair

que que ce Problême peut avoir deux solutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage : car si aprés avoir trouvé le point c qui satisfait à la question , on la coupe encore en un autre point D qui soit autant éloigné de A que c l'est de B, le rectangle ADR DB sera égal au rectangle AC RCB puisque AD=CB, & =DB. Ilest aisé de voir qu'il n'y a poinç d'autre point qui puisse satisfaire au Problême.

4. Les Problemesindéterminez sont ceux qui ont une infinité de solutions : comme si l'on propose de diviser une ligne donnée en deux parties fans y admettre aucune autre condition, il est évident que tous les points de cette ligne satisfont au Problême. De même si l'on propose de trouver deux lignes dont le rapport soit égal à celui de deux autres lignes données ; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prises d'une infinité de grandeurs differentes, & qui au

ront toûjours entr'elles le même rapport. Semblablement FIG. 2. 5. Si l'on demande de trouver un point B sur la circon

férence d'un demi cercle ABC, en sorte que la perpenculaire BH, menée du point cherché B sur le diametre AC soit moyenne proportionnelle entre les parties AH &HC du diametre AC.On sçait que tous les points de la

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