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a

=

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3

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est a

a, ou

IX3

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I

I X4

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a

22. D'où il est aisé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte , en multipliant les Exposans de la grandeur donnée par l'Exposant de la puislance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainsi la 34 puissance de ab, ou a'b'est a'*} "*3= d'b'; la 4. puif

} fance de á' est a =a"; la 3•puissance de aab',

ou ab! 2*363*3 = a*b'; la 34 puissance de -a“a est

a'; la quatrieme puissance de
est =a*,& en general la puissance ndea" est

=
La puissance n de

, selon que n signifie un nombre pair , ou impair.

Il est clair ( no. 14 , &15) que pour multiplier un produit ou une puissance par un autre produit, ou par une autre puissance où se trouvent les mêmes lettres, il n'y a qu'à ajouter leurs Exposans. Ainsi ax á = = a'; ab* * a*b = a**2/3+2

=+b; ;

=a=1. On verra dans la suite pourquoi a F., & pourquoi a'=

m

mn

a" eft + a

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23.

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Mu LTIPLICATION
Des quantitez complexes algebriques, da de la Formation de

leurs puissances,

RE' G L E. ON 24. N mulţipliera tous les termes de l'une des

quana tirez par chacun de ceux de l'autre , en observant les Régles prescrites no. 14, & 15, & l'on aura le produit total que l'on réduira (no. 11 ) à sa plus simple expression,

b

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Produits particuliers. SC. 24+ 426

D.

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ز

EXEMP L IS. 25. So it la quantité A. at 26 à multiplier par

B. 24 + 36.
C. 4ab

+3ab + 666 3bc. Produit total.

E.2aa +7ab--2ac + 666 —3bc. Le premier terme za de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité 4 donnera la quantité C.

Le second terme 3b de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité D ; & ayant fait la réduction des deux quantirez C & D, l'on aura la quantité E qui sera le produit des deux quantitez A & B.Donc 2a + 2b --( * 24 + 36 = 200+ 7ab- zac + 6bb -- 3be.

26. Soit la quantité A. ad + bb à multiplier par

B. aa

bbo

C.at + aabba Produits particuliers,

D. aabb-+ 64 Produit total

64. Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produir la quantité C. Le ze terme bb de la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduisant les produits particuliers C&D, l'on ale produit total E. Donc aa + bb xan-ob=at

bb On se contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quancitez complexes, d'écrire entre deux le signe de multiplication.

• ' Ainsi pour multiplier a + b par a -6, l'on écrit a + b xa-6, ou a + bxab. Llen est ainsi des autres.

FORMATION Des puisances des quantitez complexes. 28. Pour élever une quantité complexe à une puissan.

E 44

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64.

27.

ce donnée, il faut , conime pour les quantitez incomplexes, la multiplier consecutivement autant de fois moins une que l'exposant de la puissance donnée contient d'unitez. Ainsi pour élever a +b, à la 39 puissance, il faut (no. 24) multiplier a +b par a+b, ce qui donne aa+ zab + bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a' to zaab+zabb + b} , qui est la 3. puissance , ou le cube de ä tob. Il en est ainsi des autres.

On peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un pobynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou deux fois le rectangle au produit du premier par le second,

le quarré du second ; & ces trois termes feront le quarré cherché, si c'est un binome. Mais si c'est un trinome, on écrira encore + ou - deux fois le

produit des deux premiers par le troisième + le quarré du troisiéme. Si c'est un quadrinome, on écrira encore +ou deux fois le produit des trois premiers par le

quatriéme. + le quarré du quatrième , & ainsi de suite. Ainsi le quarré de a - b + c est aa-2ab + bb + 2ac 2bc

.buto

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a

On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a tressouvent besoin de cette operation dans l’Application de l’Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus considerable pour élever un binome à une puissance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puissance donnée ; au second la mê- . me lettre élevée à une puissance plus basse de l'unité, & multipliée par la 2° lettre ; au troisiéme , la même lettre élevée à une puissance encore plus balle de l'unité & multipliée par le quarré de la seconde ; & ainsi de suite , en abaissant à chaque terme la puissance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du second de l'unité, jusqu'à ce que l'on arrive au terme , où la même premiere lettre n'aura qu'une dimension qui sera le pénultieme ; & l'on écrira au dernier terme la seconde lec

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tre élevée à une puissance égale à celle du premier. Ainsi pour élever a + b à la 4 puissance , l'on écrira, A. a++alb + aabb + ab + b4. Si le binome est tout positif, tous les termes de la puissance auront le signe +; si la féconde lettre eft négative,les termes où elle le trouvera élevée à une puisfance impaire , ou dont l'exposant est un nombre impair , auront le signe — , & tous les autres

le signe +, comme on voit dans la puissance A.

Il reste encore à trouver les coefficiens ; en voici la Méthode.

On donnera au fecond terme pour coefficient l'exposant du premier ; on multipliera Ie coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même second & le produit divisé par 2, sera le coefficient du troisiéme. De même, le coefficient du troisiéme multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au mê. me troisiéme; & le produit divisé par 3, fera le cofficient du quatriéme ; & ainsi de suite. De maniere

que

le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'exposant que la premiere lettre du binome a dans le même terme , & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme ocupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4. puissance du binome a + b entierement for

mée est ,

at

at+ 403b + baabb +4abi +64. Il en est ainsi des autres.

S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puisfance par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever a + 2b à la 3e puissance , l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a: + 3aab + jabb + b}, l'on multipliera ensuite les coefficiens des termes où b se rencontre par

la puissance de 2 égale à celle où b y est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera zaab par 2, 3abb par4 , & bi pars, & l'on aura al + baab + Izabb+8t», qui sera le cube de a+2b.

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m 2 2

m-I

2

3

m 3 3

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4 4

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3

mais =M,

, pour

On peut aussi élever par les mêmes régles un binome quelconque p + qà une puissance indéterminée m (m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu , positif ou négatif) qui sera , P + mp 9 + m x

тх

mm P

xmP

="** &c.Où l'on voit que la premiere lettre p du binome a pour exposant dans tous les termes , m moins un nombre entier ; c'est pourquoi si ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'exposant de py sera =0;& par consequent p=1, & ce terme sera le dernier de la puissance m du binome p +

p+q. Mais si ce nombre entier ne se trouve jala puissance m du binome p+q pourra être

p continuée à l'infini.

31. Le binome p+q élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut servir de formule generale élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

Soit par exemple 2ax - xx qu'il faut élever à la 34 puiffance.

Ayant supposé 2ax = , — *x=9,&m=3, l'on substituera en la place de p, de q, & de m, leurs va— xx, & 3;

& en la place des puissances de pé de q, les puissances égales de leurs valeurs

P
&

xx , & l'on aura 8at-12d4x4 + bax' — pour la puissance cherchée; car m devient = z au quatriéme terme de la Formule. De même pour

pour élever at b. cà la 34 puissance. Ayant supposé a=p,b-19, &m=3 , l'on aura apres les substitutions a' -+ zaab+ zabb +63 - 3aac Cabc + 3acc-3bbc + 3bacc— c. Il en est ainsi des autres.

32. On se contente quelquefois pour élever uu polynome à une puissance donnée, d'écrire à la droite l'exposant de la puiffance à laquelle on le veut élever. Ainsi pour élever a + b au quarré, on écrit a + b ;

i pour

l'éle. ver au cube , l'on écrit a+b'; & en general, pour éle.

XX

=

leurs 2ax,

2ax &

to 6,

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