22. D'où il est aise de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Exposans de la grandeur donnée par l'Exposant de la puifsance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainsi la

3o puissance

eft-a

I

IX3

- a est a

abestax3

de ab, ou a

= a

-=

IX4

= a

6

4

3

a*x3 b1x3 = a'b'; la 4o puif

2.3

fance de a' eft a3× 4 =a; la 3opuissance de aab', ou a b est a 2X3 63×3 ab'; la 3o puissance de -a, ou-a a's la quatrième puissance de - ०५ a*, & en general la puissancen de a" est La puissance de-a" eft + ", selon que n fignifie un nombre pair, ou impair. 23. Il est clair (no. 14, &15) que pour multiplier un produit ou une puissance par un autre produit, ou par une autre puissance où se trouvent les mêmes lettres, il n'y

a qu'à ajouter leurs Exposans. Ainsi a' x a

ài ả b x a b = a*23+2= b; ả

dans la suite pourquoi a, & pourquoi a=1

MULTIPLICATION

Des quantitez complexes algebriques, & de la Formation de leurs puissances.

REGLE.

24. On multipliera tous les termes de l'une des quan titez par chacun de ceux de l'autre, en obfervant les Régles prescrites n°. 14, & 15, & l'on aura le produit total que l'on réduira (n. 11) à sa plus simple expression,

Le premier terme 24 de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité C.

Le second terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité D; & ayant fait la réduction des deux quantitez C & D, l'on aura la quantité E qui sera le produit des deux quantitez A & B.Donc 24-26-6 x 2a +36=2aa7ab-2ac +666-366.

bb de

Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité C. Le 20 terme la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduisant les produits particuliers C & D, l'on a le produit total E. Doncaa+bb xaa - bb = at

27.

On se contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quantitez complexes, d'écrire entre deux le signe de multiplication.

Ainsi pour multiplier a + b par a - b, l'on écrit a + b xa-b, oua+bxa-b. ll en est ainsi des autres.

FORMATION

Des puissances des quantitez complexes. 28. Pour élever une quantité complexe à une puissan

OUR

:

ce donnée, il faut, conime pour les quantitez incomplexes, la multiplier consecutivement autant de fois moins une que l'exposant de la puissance donnée contient d'unitez. Ainfi pour élever a + b, à la 3o puissance, il faut (no. 24) multiplier a + b par a+b, ce qui donne aa+2ab +bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a3 + zaab+3abb+b2, qui est la 3o puissance, ou le cube de ab. Il en est ainsi des autres.

On peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un pobynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou deux fois le rectangle au produit du premier par le second, + le quarré du second; & ces trois termes seront le quarré cherché, si c'est un binome. Mais si c'est un trinome, on écrira encore + ou - deux fois le pro. duit des deux premiers par le troisième + le quarré du troisfiéme. Si c'est un quadrinome, on écrira encore+ou

deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme. + le quarré du quatrième, & ainsi de fuite. Ainfi le quarré de a - b + c est aa-2ab+bb+2ac

+ cc.

2bc

On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a tres souvent besoin de cette operation dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus considerable pour élever un binome à une puissance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puissance donnée; au second la même lettre élevée à une puissance plus basse de l'unité, & multipliée par la 2 lettre; au troisieme, la même lettre élevée à une puissance encore plus basse de l'unité & multipliée par le quarré de la seconde; & ainsi de fuite, en abaissant à chaque terme la puissance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du second de l'unité, jusqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimension qui sera le pénultieme ; & l'on écrira au dernier terme la seconde lettre élevée à une puissance égale à celle du premier. Ainfi pour élever a + b à la 4o puissance, l'on écrira, A. a+abaabb + ab + b+. Si le binome est tout positif, tous les termes de la puissance auront le figne +; fi la seconde lettre est négative, les termes où elle fe trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair, auront le signe -, & tous les autres le signe +, comme on voit dans la puissance A.

Il reste encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode.

On donnera au second terme pour coefficient l'exposant du premier; on multipliera le coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même second & le produit divisé par 2, sera le coefficient du troisieme. De même, le coefficient du troifiéme multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au même troisieme; & le produit divisé par 3, fera le cofficient du quatrième ; & ainsi de suite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expofant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divisé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme ocupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4o puissance du binome a + b entierement formée est,

a*+ 4a3b+6aabb+4ab3+b+. Il en est ainsi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puiffance par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever a+2b à la 3o puissance, l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a3 + zaab + 3abb+b2, l'on multipliera enfuite les coefficiens des termes où bse rencontre par la puissance de 2 égale à celle où b y est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera zaab par 2, 3abb par4, & bi par 8, & l'on aura a3 +6aab+12abb+8t, qui sera le cube de a+2b.

On peut aussi élever par les mêmes régles un binome quelconque p + qà une puissance indéterminée m (m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif

ou négatif) qui fera,

3

P

X

111-22

m

4

m-I

q+mx

2

xm-2 3

voit que la premiere lettre p du binome a pour exposant

dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi fi ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'expofant de p y fera = 0 ; & par confequent p=1, & ce terme sera le dernier de la puissance m du binome p + q. Mais si ce nombre entier ne se trouve jamaism, la puiffance m du binome p+q pourra être continuée à l'infini.

31. Le binome p + q élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut servir de formule génerale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3o puif

fance.

Ayant suppose 2ax = p, xx9 & m= 3, l'on substituera en la place de p, deq, & dem, leurs valeurs 2ax, & 3 ; & en la place des puissances de p & de q, les puissances égales de leurs valeurs

2ax &

xx,

xx

6ax-x

1

, & l'on aura 8a3x3 - 12ax++ pour la puissance cherchée: car m devient 3 au quatriéme terme de la Formule. De même pour élever a+ b-cà la 3o puissance. Ayant supposé a=p,b&m=3, l'on aura aprés les substitutions a3+3aab+ zabb+b2 Gabc + засс -366c+звасс-с3. 11 заасen est ainsi des autres.

32. On se contente quelquefois pour élever uu polynome à une puissance donnée, d'écrire à sa droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ains pour élever a + b au quarré, on écrit a + b2; pour l'éle ver au cube, l'on écrit a+b; & en general, pour éle

2