Fig. 3.

parler de ce Problême qu'après la Propofition 3. qui eft très-propre pour le démon

trer.

PROPOSITION I.

THEOREM E.

Les circonferences des Cercles concentriques, c'est-à-dire, qui ont le même centre, font paralleles.

C

ECI s'entend de foi-même;car tous

les rayons de la plus grande circonference, font perpendiculaires à l'une & à l'autre, c'est-à-dire, que le rayon AB, eft perpendiculaire fur la circonference B, comme fur la circonference C. Donc ôtant le rayon de la plus petite, c'està-dire AC, la partie CB qui refte entre les deux circonferences, fera la mesure de leur distance. Or tous les rayons tirez du centre A à la plus grande circonference, feront le même effet. Donc tous les points de chacune de ces circonferences feront également diftants de tous les points de l'autre ; donc elles font paralleles. C. Q. F. D.

PRO

PROPOSITION III.

THEOREM E.

Si dans un Cercle une ligne droite paffe par. le centre, & coupe en deux également une autre ligne droite qui n'y paffe point, elle la coupera perpendiculairement ; & fi elle la coupe perpendiculairement, elle la coupera en deux également.

E fuppofe premierement que la ligne Fig. 9. droite BD, qui eft dans le Cercle AB CD, paffe par le centre E,& qu'elle coupe en deux également au point F,la ligne AC qui n'y paffe point; cela étant ; je dis que la ligne BD, coupe la ligne AC perpendiculairement. Pour le prouver.

Menez les lignes droites AE, EC, cela pofé. Dans les Triangles AFE&CFE, le côté AF eft égal au côté FC par fuppofition;le côté FE eft commun à ces deux Triangles. De plus la bafe EA eft égale à la bafe EC, par la définition du Cercle; donc (par la 8. du 1.) l'angle AFE eft égal à l'angle CFE, & la ligne BD est perpendiculaire à AC. C. Q. F. D. Je fuppofe en second lieu, que la ligne

K

Fig. 9.

Fig. 10.

BD qui passe par le centre du Cercle; coupe la ligne AC perpendiculairement; cela étant, je dis qu'elle la coupe auffi en deux également.

Pour le trouver. Puifque les lignes EA, EC, font égales par la définition du Cercle, les angles EAC & ECA font égaux (par 5. du 1.) d'ailleurs puifque la ligne BF eft perpendiculaire à la ligne AC, les deux angles EFA, EFC font auffi égaux;fi bien que les deux Triangles EFA,EFC ont deux angles égaux chacun au fien, ainfi ils les auront tous trois égaux & comme le côté EF qui eft commun aux deux triangles,foutient des angles égaux; il s'enfuit (par la 26. du 1.) que le côté AF est égal au côté FC. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV.

PROBLEME.

Trouver le centre d'un Cercle.

OUR trouver le centre du Cercle X, tirez la corde CD,laquelle étant divifée en deux également au point E, il faut y élever la perpendiculaire EF, qui venant aboutir à la circonference, fera

le diametre du Cercle ( par la précedente.) Cela étant, elle doit paffer par le centre; fi on divife donc cette ligne en deux également au point H; on aura ce qu'on cherche.

PROPOSITION V. & VI.

THEOREM E.

Les Cercles qui fe touchent, non plus que ceux ceux qui fe coupent en dedans le même centre.

n'ont pas

Left bien évident( par la Définition 2. & par la Prop. 1.) que fi deux Cercles fe coupent, leurs circonferences ne feront point paralleles, n'étant point concentriques cela étant, ils ne peuvent avoir le même centre; pareillement s'ils fe touchent en dedans, leurs circonfe rences ne feront point paralleles ; or n'étant point paralleles, ils ne peuvent avoir le même centre.

Nous pafferons les Propofitions 7, & 8. comme étant peu confiderables.

Fig. 11.

PROPOSITION IX.

THEOREM E.

D'un point pris dans un Cercle,qui n'eft pas le centre, on ne peut tirer qne deux lignes égales à la circonference, & il n'y a que du centre qu'on puiffe en tirer trois.

J

E dis que du point A on ne peut tirer. que deux lignes égales à la circonference, & pour le prouver, faites que l'angle CBA foit égal à l'angle ABD. Tirez auffi les lignes CA & AĎ.

Démonftration.

Nous avons deux Triangles qui ont chacun un angle égal par la conftruction. Le côté AB eft commun, & les lignes CB & BD font égales, ayant été tirées du centre B; donc ( par la 4. ) les bases CA & AD feront égales; ainfi voilà deux lignes droites menées du point A à la circonference, qui font égales. Mais qu'on ne puiffe pas mener une troifiéme égale aux deux autres ; cela eft évident, car cette ligne approchera, ou s'éloignera plus ou moins du point F, que ne font les lignes CA & AD, ce qui caufera l'inéga