Les Demandes, ou Suppofitions.

1. On fuppofe qu'on peut tirer une ligne droite, de quelque point que ce foit,

à un autre.

2. Qu'on peut continuer une ligne droite, autant que l'on voudra.

3. Qu'on peut d'un centre donné, déeire un Cercle à quelque ouverture de compas que ce foit.

Les Maximes, ou Axiomes.

1. Les quantitez qui font égales à une troifiéme, font égales entre-elles. 2. Si on ajoûte des quantitez égales à d'autres quantitez auffi égales, celles qui en feront produites feront égales.

3. Si on retranche de deux quantitez égales, deux autres quantitez auffi égales, celles qui resteront feront égales. 4. Si on ajoute des parties égales à des quantitez inégales, les compofées demeuront inégales.

5. Si des quantitez égales on en retranche des parties inégales, celles qui resteront feront inégales.

6. Les quantitez qui font doubles triples, quadruples d'une même quantité, font égales entre-elles.

Les quantitez font égales, lorfqu'étant ajustées l'une fur l'autre, elle ne se surpaffent point.

1

Pl. I.

8. Les lignes & les angles égaux, étant mis l'un fur l'autre, ne fe furpaffent pas. 9. Le tout eft plus grand que fa partie, 10. Tous les angles droits font égaux

entr'eux.

L'onziéme Maxime d'Euclide porte Fig. 16 que, fi les lignes A B, CD, forment avec la ligne EF, qui les coupe toutes deux, des angles internes BEF, DFE, plus petits que deux droits, ces lignes AB, CD étant prolongées, fe rencontreront vers B & D.

Pl. I.

Quoique cette Maxime foit véritable elle n'eft pas affez claire pour être reçûë pour Maxime: ainfi j'en fubftitue une autre en fa place.

11. Si deux lignes font paralleles, toutes les perpendiculaires renfermées entreelles feront égales.

Comine, fi les lignes AB, CD font pas Fig. 17. ralleles, les lignes perpendicul tires FE, HG, font égales. Car fi E F étoit plus grande que GH; les lignes AB, & C D feroient plus éloignées entre elles vers les points E&F, que vers G, & H : ce qui feroit contre la définition des paralleles, Luquelle porte, qu'elles ont par tout lameme diftance, mefurée par des perpendicu

laires.

12. Deux lignes droites, ne compren

nent pas une espace : c'eft-à-dire, ne l'enferment & ne l'entourent pas de tous côtez.

que

13. Deux lignes droites, n'ont pas un pl. 1. fegment commun: Je veux dire des Fig. 18. deux lignes droites AB, CB qui fe rencontrent au point B, il ne fe fait pas une feule ligne BD; mais qu'elles fe coupent, & fe feparent après s'étre rencontrées en B: Car fi on décrit un Cercle du point B comme centre, AFD feroit un demi Cercle, puifque la ligne droite ABD, paffant par le centre B, divife le Cercle en deux également. Le fegment CFD feroit auffi un demi Cercle, puifque CBD feroit aufi une ligne droite qui pafferoit par le centre B: Donc le fegment CFD feroit égal au fegment AFD, la partie à fon tout ce qui feroit contraire à la neuviéme Maxime. AVERTISSEMENT.

Nous avons deux fortes de Propofitions: quelques-unes ne font que confiderer une verité, fans defcendre à la pratique ; & nous les appellons Theoremes. Les autres nous propofent quelque chofe à faire; & on les appelle Problemes.

Le premier nombre des citations,eft celui de la Propofition: Le fecond marque le Livre. Comme par la 2. du 3. fignifie, par la feconde Propofition du treifiéme Livre. Que

fi on ne rencontre qu'un nombre, il fignifie la Propofition du Livre que l'on explique.

Q

U'on propose la ligne AB pour bafe d'un Triangle équilateral. Décrívez du centre A, à l'intervalle A B, le Cercle CBD : décrivez auffi du centre B, à l'intervale BA, le Cercle DAC, qui coupe le premier au point C. Tirez enfuite les lignes AC, BC. Je dis que tous les côtez du Triangle A B C font égaux. Démonftration.

Pl. I. Les lignes A B, AC, tirées du même Fig. 19. centre A, à la circonference du Cercle

CBD, font égales par la définition du Cercle: les lignes BA, BC font auffi égales, puifqu'elles font tirées du centre B, à la circonference du Cercle CAD enfin les lignes AC, B C étant égales à la même ligne AB, font auffi égales entre-elles par le premier Axiome. Donc les trois côtez du Triangle ABC font égaux.

USAGE.

On peut fe fervir très-utilement du Pl. 2. Triangle équilateral pour trouver une dif- Fig. 20. tance inacceffible, telle que la largeur d'une Riviere. Il faudroit pour cela décrire un Triangle équilateral fur une planche, & s'en fervir en cette forte :le Triangle BDE étant pofe horisontalement, obfervez un point A au de là de la Riviere, par le côté BD, & quelque autre point C, par le côté BE: tranfportez vôtre Triangle le long de la ligne BC, & faites en forte de pouvoir le placer dans un endroit, où vous puissiez le long des côtez CG & CF, voir les points B & A. Jesuppose qu'on y foit parvenu,& que le point Cfoit celui qu'on cherche ; cela étant on aura le Triangle équilateral A B C, dont le côté BC peut fe connoître. On peut auffi connoître la diftance D F, qui étant parallele à BC peut paffer pour la. bafe du Triangle équilateral DAF, lequel étant rapporté fur le papier par le moyen. d'une Echelle, on peut trouver la perper diculaire AN, qui eft la diftance qu'on cherche.