Fig. 26. PROPOSITION XXII. THEOREM E. Les figures quadrilateres infcrites dans un Cercle, ont les angles oppofez égaux à deux droits. L eft aifé de démontrer que les deux angles opofez A & C pris enfemble; valent deux droits; car l'angle A ayant pour mesure la moitié de l'arc BCD, & l'angle C ayant pareillement pour mefure la moitié de l'arc BAD: ces deux angles auront donc pour mefure la moitié de la circonference du Cercle, & comme cette moitié eft la mesure des deux droits, il s'enfuit que les angles A & C, vaudront deux droits ; par la même raison les deux B & D vaudront auffi deux droits.. USAGE. On peut par cette Propofition prouver que les deux côtez d'un Triangle obtufangle ont entr'eux la même raifon que les Sinus des angles oppofez. Ce que j'ai démontré clairement dans nôtre Traité de Trigo nometrie. PROPOSITION XXIII. THEOREM E. Deux femblables fegments de Cercle décrits deffus la même ligne font égaux. J'Appelle des femblables fegments de B... Cercle, ceux qui contiennent des an- Fig. 16. gles égaux, & je dis que s'ils font décrits fur la même ligne AB, ils tomberont l'un fur l'autre, & ne fe furpafferont en aucun endroit ; car s'ils fe furpaffoient, ainsi que font les fegments ADB, ACB, ils ne feroient pas femblables, & pour le démontrer, tirez les lignes ADC, BD, & BC. Démonftration. L'angle ADB eft exterieur, eu égard au Triangle DBC: donc (par la 32. du 1.) il eft plus grand que l'angle ACB,& par confequent les segments ADB,ACB contiennent des angles inégaux; ce que j'appelle être diffemblables. Pl. I. Fig. 17. Pl. 2. Fig. 27. PROPOSITION XXIV. THEOREM E. Deux femblables fegments de Cercle décrits fur des lignes égales, font égaux. Slots fempleables, & fi les lignes AB, I les fegments de Cercle AEB,CFD CD font égales, ils feront égaux. Démonftration. Qu'on s'imagine que la ligne CD eft pofée fur la ligne AB, elles ne fe furpasferont pas l'une & l'autre ; puifqu'on fuppofe qu'elles font égales;& pour lors les fegments AEB, CFD feront décrits fur la même ligne ; ils feront donc égaux par la précedente. PROPOSITION XXV. Achever un Cercle dont nous n'avons qu'u- N nous donne l'arc ABC, & nous voulons achever le Cercle; il ne faut que chercher fon centre; tirez !es lignes AB,BC, & les ayant divifées par le milieu en D & E; tirez-leur deux perpendiculaires DI, EI, qui fe rencontreront au point I, centre du Cercle. Démonftration. Le centre eft dans la ligne DI (par la 4.) il eft auffi dans EI ( par la même) il eft donc dans le point I. USAGE. Cette Propofition eft très-utile pour connoître le diametre d'un Cercle dont on n'a qu'un are; la plupart des voutes font faites en arc de Cercle, lorfqu'elles ne font pas à plein centre ; fi on veut en faire le toifé, il faut nécessairement connoître la valeur de cette partie de Cercle, ce qu'on ne peut trouver fans le diametre;mais comme on ne peut point agir dans ces occafionslà, comme on fait fur le papier, c'est-àdire, qu'on ne peut fe fervir du Compas pour trouver le diametre d'une voute;nous donnerons à la fin de la Propofition 35. une methode qui peut fervir à furmonter eette difficulté. Fig. 28. PROPOSITION XXVI THEOREM E. Les angles égaux qui font ou au centre, on à la circonference des Cercles, ont pour bafe des arcs égaux. I dans cette figure les angles égaux D & I, font au centre des Cerclex égaux ABC, EFG ; les arcs BC, FG seront égaux; car fi l'arc BC étoit plus grand ou plus petit que l'arc FG,puisque les arcs font les mefures des angles, l'angle D feroit ou plus grand, ou plus petit que l'angle I. Que files angles égaux A & E font à la circonference des Cercles égaux ; les angles D & I, qui font doubles des angles A & E étant égaux; les arcs BC, FG feront auffi égaux. PRO |