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LIVRE CINQUIE' ME.

DES ELEMENS

D'EUCLIDE.

Cceffaire, pour démontrer les propofi

E cinquième Livre eft abfolument ne

tions du fixième Livre. Il contient une doctrine très-univerfelle, & une façon d'argumenter par proportion, qui eft très-fubtile, très-folide,& très-courte. Ainfi tous les traitez qui font fondez fur les proportions ne peuvent se passer de cette Logique Mathematique. La Geometrie, l'Arithmetique, la Mufique, l'Aftronomie, la Statique, & pour dire en un mot, tous les traitez de Mathematique fe démontrent par les Propofitions de ce Livre. La pluspart des mefurages fe font par proportion dans la Geometrie pratique. On peut démontrer toutes les regles d'Arithmetique par les Theoremes de ce Livre, de forte qu'il n'eft pas neceffaire de recourir au feptiéme, ni au buitiéme, & neuvième pour cela. La Mufique des anciens n'est presque autre chofe que la doctrine des proportions appli

quées aux fons. Il en eft de même de la Statique, qui confidere les proportions des poids. Enfin on peut assurer que fi on ôtoit aux Mathematiques la connoiffance des proportions, que ce Livre nous donnè, le refte feroit peu confiderable.

E

A

6

IC-D

2

DEFINITIONS.

Une petite quantité comB parée avec une plus grande, s'appelle partie. Comme fi on compare la ligne C D, de deux pieds, avec la ligne AB de 6; elle s'appellera partie. Et quoiqu'en

effet CD ne foit pas dans AB; pourvû que la ligne AE égale à CD, fe trouve dans A B, on lui donne ce nom de partie.

Le tout répond à la partie : & ce fera la plus grande quantité, comparée avec la plus petite; foit qu'elle la contienne en effet, ou qu'elle ne la contienne pas.

Ón divife ordinairement la partie prife en general, en partie aliquote, & partie aliquante.

1. La partie aliquote ( qu'Euclide définit dans ce Livre) eft une grandeur d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand elle est mesurée exactement par la plus petite. C'est-à-dire, que c'est une petite quantité, comparée avec

une plus grande,qu'elle mesure précisement. Comme la ligne de deux pieds prife trois fois, eft égale à une ligne de 6. pieds.

2. La partie aliquante eft une petite quantité, comparée avec une plus grande, qu'elle ne mefure pas exactement. Ainfi une ligne de 4. pieds, eft partie aliquante d'une ligne de io. pieds.

3. La multiple eft une grandeur, d'une grandeur, la plus grande de la plus petite, quand la plus petite mefure exactement la plus grande: c'est-à-dire que la multiple eft une grande quantité, comparée avec une plus petite,qu'elle contient précifement un nombre de fois. Par exemple, la ligne de 6. pieds, eft multiple de la ligne de 2. pieds parce qu'elle la contient précifement 3. fois.

5. Les Equimultiples font des grandeurs qui contiennent également leurs parties aliquotes, c'est-à-dire, autant de fois. Par exemple fi A contient autant de fois B, que C contient D ; A& C feront Equimultiples de B & de D.

12.4.6.2.

|B, C, D, A,

5. Raifon, eft un rapport d'une grandeur à une autre de même genre felon la quantité. J'ai ajoûté, de même genre, car Euclide ajoûte, que

Les quantitez ont une raifon, lors qu'é

tant multipliées, elles fe peuvent furpaffer l'une l'autre. Pour cela, il faut qu'elles foient de même genre. En effet une ligne n'a aucune raifon avec une furface,parce qu'une ligne prife mathematiquement eft confiderée fans aucune largeur: ainfi étant multipliée tant qu'il vous plaira, elle ne donne aucune largeur, & neanmoins la furface en contient une.

que

les Phi

Puifque laraifon eft un rapport, c'est-àdire une relation fondée fur la quantité:elle doit avoir deux termes. Celui lofophes appelleroient fondement, eft nommé par les Mathematiciens Antecedent: &le fecond terme eft appellé Confequent. Comme, fi nous comparons la quantité A, à la quantité B,ce rapport ou cette raison, aura pour antecedent la quantité A, & pour confequent la quantité B. Comme au contraire, fi nous comparons B, avec A, cette raifon de Bà A, aura pour antecedent la quantité B, & pour confequent la quantité A.

On divife la raison, ou rapport d'une quantité à une autre, en raison rationnelle,& raifon irrationnelle. La raison rationnelle, eft un rapport d'une quantité à une autre qui lui eft commensurable ; c'està-dire une relation de deux quantitez qui ont une mesure commune qui les mesure

exactement toutes deux. Comme, la raison d'une ligne de 4. pieds, à une de 6. est rationnelles parce qu'une ligne de deux pieds les mesure exactement toutes deux : & lorfque cela arrive, ces quantitez ont mème raifon qu'un nombre à un autre. Par exemple, parce que la ligne de deux pieds qui eft la mesure commune, fe trouve deux fois dans la ligne de 4. & trois fois dans celle de 6. la premiere a la feconde aura même raifon que 2. a 3.

La raifon irrationnelle eft entre deux quantitez de même genre qui font incommenfurables. Comme,la raison du côté d'un quarré à fa diagonale. Car on ne peut trouver aucune mesure, fi petite qu'elle foit,qui les mefure toutes deux précisement :& pour lors ces lignes n'ont pas même raison qu'un nombre à un autre nombre.

Quatre quantitez feront en même raifon, ou feront proportionnelles, quand la raifon de la premiere à la feconde, fera la même, ou femblable à celle de la troifiéme à la quatriéme; de forte qu'à parler proprement, la proportion eft une fimilitude de raifons. Mais on a de la peine à entendre en quoi confifte cette fimilitude de raifons: c'est-à-dire, que deux rapports, on relations foient femblables. Car Euclide n'en a pas donné une définition jufte, &

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