qui en expliquàt la nature, s'étant contenté de nous donner une marque par laquelle nous puiffions connoître, fi les quantitez avoient une même raison; & c'est l'obscurité de cette définition qui a rendu ce livre difficile. Je tâcherai de fuppléer à ce défaut.

6. Euclide dit, que quatre grandeurs ont même raison, lors qu'ayant pris les Equimultiples de la premiere, & de la troifiéme ; & d'autres Equimultiples de la feconde,& de la quatriéme;quelque combinaifon qu'on faffe, quand le multiple de la premiere, étant plus grand,que le multiple de la feconde; le multiple de la troifiéme eft auffi plus grand,que le multiple de la quatrième : & quand le multiple de la premiere eft égal, ou plus petit que le multiple de la feconde, & que celui de lá troifiéme eft auffi égal ou plus petit que celui de la quatriéme, alors il y a même raifon de la premiere à la feconde, que de la troifiéme à la quatrième.

A, B, C, D, 2. 4. 3.1 6. E, F, G, H. 10.8 15 12

K, L, M, N,

18.8. 12. 12. JO, P, Q, R,

6.16.9.24

Comme fi on propofe quatre grandeurs A, B, C, D. Ayant pris les Equimultiples de A& C,qui foient E &G, quintuples, F&H, doubles de B & D. Pareillement prenant K&M, N, doubles de B & D. quadruples de A & C: L

Prenant encore O & Q triples de A& C: P&R quadruples de B & D. Parce que E étant plus grand que FG eft plus grand que H&K étant égal à L; M eft égal à N: Enfin O étant plus petit que P; Q eft plus petit que R. Alors A aura la meme raifon à B, que Cà D.

Pour bien expliquer ce que c'est que Proportion, c'est-à-dire que quatre grandeurs foient en même raifon:quoi qu'on puisse dire en general, que pour cela il faut que la premiere foit une femblable partie, ou un Semblable tout, en égard à la feconde;que la troifiéme, comparée à la quatrième : neanmoins parce que cette définition ne convient pas à la raifon d'égalité, il en faut donner une plus generale ; & pour la rendre intelligible il faut expliquer ce que c'est qu'une femblable partie aliquote.

Les femblables parties aliquotes font celles qui font autant de fois dans leur tout: comme trois, eu égard à neuf; deux en égard à fix, font des parties aliquotes femblables, parce que chacune fe trouve trois fois dans fon tout.

La premiere quantité aura même raifon à la feconde,que la troifiéme à la quatriéme, fi la premiere contient autant de fois quelques parties aliquotes que ce foit de la feconde, que la troifiéme contient de fem

blables parties aliquotes de la quatriéme ; comme, fi A contient autant de fois une centiéme une milliéme,

A, B, C, D. une cent milliéme partie de B: que C contient

une centiéme, une milliéme, ou une cent milliéme partie de D;& ainfi de toutes les autres parties aliquotes qu'on fe peut imaginer; il y aura même raifon de A, à B, que de C à D.

7. Il y aura plus grande raison de la premiere quantité à la feconde,que de la troifiéme à la quatriéme : fi la premiere contient plus de fois quelque partie aliquote de la feconde, que la troifiéme ne contient une femblable partie aliquote de la quatriéme. Comme, 101. a plus grande raifon à 10: que 200. à 20. ; parce que 101. contient cent & une fois la dixième partie de 10. & 200. contient feulement cent fois la dixieme partie de 20. qui est 2. 8. Les grandeurs ou quantitez qui font en même raifon, s'appellent proportionelles.

9. La proportion ou analogie, eft une fimilitude de raifon ou de rapport.

10. La proportion doit avoir pour le moins trois termes. Car afin qu'il y aut fimilitude de raifon, il faut qu'il y ait deux raifons: Or chaque raifon ayant

deux termes, l'antecedent & le confequent, il femble qu'il y en devroit avoir quatre; comme, quand nous difons, qu'il y a même raifon de A à B, que de C, à D: mais le confequent de la premiere raison, pouvant ètre antecedent dans la feconde, trois termes peuvent fuffire; comme, quand je dis, qu'il y a même raifon de A à B, que de B

a C.

II. Les grandeurs font continuellement proportionnelles, quand les termes. d'entre-deux fe prennent deux fois; c'eftà-dire, comme antecedent, & comme confequent. Comme s'il y a même raifon de A à B, que de B à C, & de Cà D.

12. Pour lors, A à C aura la raifon doublée de A à B : & la raison de A à D, fera triplée de celle de A à B.

Il faut remarquer qu'il y a bien de la difference entre raison double, & raison doublée. Nous difons que laraifon de quatre à deux eft double, c'est-à-dire que quatre eft double de deux, de forte que le nom-. bre deux eft celui qui donne le nom à cette raifon, qn plûtôt à l'antecedent de cette raison. Ainfi nous difons double, triple, quadruple, quintuple, qui font des dénominations tirées de ces nombres deux, trois, quatre, cing, comparez avec l'unité : car nous concevons mieux une raifon, quand

de

ces termes font plus petits. Mais comme j'ai remarqué, ces dénominations tombent plûtôt fur l'antecedent,que fur la raison même; nous appellons donc la raifon double triple, quand l'antecedent eft double, on triple du confequent: mais quand nous difons que la raifon eft doublée, nous entendons que c'est une raifon compofée de deux raifons femblables; comme s'il y a même raifon de 2. à 4. que તે 4. à 3. la raison de 2. a 8. étant compofée, de la raison de 2. à 4. & de celle de 4. à 8. qui font femblables, & comme égales ; la raifon de 2. à 8. fera doublée de chacune. Pareillement 3. a 27. eft une raifon doublée de celle de 3. à9. La raifon de 2. à 4. s'appelle fousdouble, c'est-à-dire que 2. eft la moitié de 4. mais la raifon de 2. à 8. eft doublée de la fous double; c'est-à-dire, que 2. eft la moitié de la moitié de 8. comme 3. eft le tiers du tiers de 27. où vous voyez qu'on prend deux fois les dénominateurs & Pareillement 8. à 2. eft une raison doublée de 8. à 4. parce que 8. eft double de 4. mais 8. eft le double du double de z. S'il y a quatre termes en même raifon continuće, celle du premier au dernier eft triplée de celle du premier au fecond;comme fi on met ces quatre nombres 2. 4. 8. 16. la raison de 2. à 16. eft triplée de celle de 2 à 4. car