font de même efpece, c'est-à-dire, fi toutes quatre font des lignes,ou toutes quatre des furfaces; ou toutes quatre des folides:Il y aura même raifon de A à C que de Bà D. Car fuppofé qu'il y ait plus grande raison de A à C, que B à D. Démonftration.

Puifqu'on veut qu'il y ait plus grande raifon de A à C; que de B à D: la quantité A contiendra une partie aliquote de C: par exemple le tiers, plus de fois que B ne contient le tiers de D. Que A contienne le tiers de C quatre fois, & B le tiers de D feulement trois fois: ayant divifé A en quatre parties, le tiers de C fera une fois en chacune : & ayant auffi divifé B en quatre, le tiers de D ne fera pas en chacune. Donc les trois quarts de A contiendront les trois tiers de C, c'est-àdire la quantité C ; & les trois quarts de B ne contiendront pas les trois tiers de D, c'est-à-dire la quantité D. D'ailleurs, puifqu'il y a même raison de A à B, que de Cà D; il y aura auffi même raison des trois quarts de A aux trois quarts de B que de C à D (par le coroll. de la 15.) (Et par la 14.) fi les trois quarts de A font plus grands que C; les trois quarts de B feront plus grands que D : quoique nous ayons démontré le contraire.

LEMM E.

S'ily a même raifon de la premiere quantité à la feconde, que de la troifiéme, à la quatrième; une partie aliquote de la premiere aura même raifon à la feconde, qu'une femblable partie de la troifiéme, à la quatrième.

16.3.32.6. A, B, C, D.

E,

F,

8.

14.

Il y a même raison de
A à B, que de Cà D;
E foit une partie

& que

aliquote de A, & F, une femblable partie aliquote

de C: Je dis qu'il y a même raifon de E à B, que de Fà D.

Démonftration.

S'il y avoit plus grande raifon de E à B,que de Fà D: E contiendroit une partie aliquote de B plus de fois, que F ne contient une femblable partie aliquote de D. Donc E prise deux, trois & quatre fois, contiendroit une partie aliquote de B plus de fois, que F prife deux, trois & quatre fois ne contiendroit une partie aliquote de D. Or E pris quatre fois, eft égal à A comme F pris quatre fois eft égal à C: ainfi A contiendroit une partie aliquote de B, plus de fois,que C ne con

tient une semblable partie aliquote de D. Donc il y auroit plus grande raifon de A à B, que de C à D; ce qui eft contre la fuppofition.

COROLLAIRE.

Qui eft dans Euclide aprés la quatriéme Propofition.

La raifon converse.

S'il y a même raison, de la premiere grandeur à la feconde, que de la troifiéme à la quatrième: Il y aura même raifon de la feconde, à la premiere, que de la quatrième, à la troisième.

S'il y avoit plus grande raison de B à A, que de D à C;B contiendroit une partie aliquote de A; par exemple, le quart E, plus de fois, que D ne contient F le quart de C. Suppofons que B contient huit fois la quantité E; D ne contiendroit

que fept fois la quantité F. Et puifqu'ily a même raifon de A à B, que de Cà D, dé il y aura auffi même raifon de E à B, que de F à D (par le Lemme précedent.) Et par la 15.) E prife huit fois, aura même raifon à B, que F prife huit fois à D. Or E prife huit fois eft contenue dans B: donc F prife huit fois fera contenue dans D; quoique nous ayons démontré le contraire. Il n'y a donc pas plus grande raifon de B à A, que de D à C.

Il femble que les Sectateurs d'Averroës fe fervoient de cette façon d'argumenter, pour prouver que le monde étoit de toute éternité, difant qu'il y a même rapport de l'acte éternel de la volonté de Dieu à la production éternelle du monde;que de l'acte temporel à un effet temporel: donc par échange,il y a même raison d'un acte temporel de volonté, c'est-à-dire qui a commencé dans le temps, à un effet éternelique d'une volonté éternelle à un effet temporel. Or il est évident que la volonté,ou l'acte de volonté, qui a commencé dans le temps, ne peut pas produire un effet éternel ; Donc Pacte de Dieu éternel ne peut pas produire un effet dans le temps. Mais ce raifon nement a deux défauts. Le premier est; qu'il fuppofe que Dieu ait quelque acte de volonté qui commence dans le temps : & le

fecond, qu'il fait échange des raisons ou proportions, quoique les termes foient de diverfes efpeces.

PROPOSITION XVII.

THEOREM E.

Divifion de raison.

Si les quantitez composées font proportionnelles; elles le feront, étant divifées.

A, B, C, D, SA & Bà B, que de C

'Il y a même raifon de

5. 3. 10. 6.

& D à Dil y aura auffi même raifon de A à B, que de C à D. Démonftration.

Puifqu'on fuppofe qu'il y a même raifon de A & B à B, que de C & D à D: A & B contiendra une partie aliquote de B, autant de fois que C & D contient une femblable partie aliquote de D. Or cette partie aliquote fe trouve autant de fois dans B, qu'une femblable se trouve dans D. Donc ôtant B de A & B, & D de C & D;A aura encore autant de parties aliquotes de B, que C en contient de femblables de D. Et par confequent il y aura même raison de  à B, que de C à D.