PROPOSITION VI.

THEOREM E.

Si un Triangle à deux angles égaux entr'eux, les côtez qui le foutiennent feront auffi égaux.

J

E fuppofe que le Triangle A B C a les Fig. 26. deux angles B & C égaux, cela étant, je dis que les côtez AB, AC qui foutiennent ces deux angles font auffi égaux. Démonftration.

Pour faire voir que le côté AB eft égal au côté AC, fi les angles B & C font égaux. Suppofons pour un inftant qu'ils font inégaux; retranchez du côté AB que je fuppofe être plus grand que A C, la partie B D égale à ce même côté A C; tirez la ligne CD: enfuite comparez le Triangle DBC avec le Triangle ABC, le côté DB du premier Triangle, est égal au côté A C du fecond par fuppofition. Or le côté BC eft commun aux deux Triangles; de plus l'angle B compris entre ces deux côtez DB & B C, est égal à l'angle ACB compris des deux côtez AC & CB ; donc (par la 4.) les Trian

Fig. 28.

gles DBC & ABC feroient égaux ; mais
cela ne peut être fans abfurdité, d'au-
tant que ce feroit faire voir que la partie
eft auffi grande que le tout ; il eft donc.
impoffible que le côté AB foit plus grand
que le côté AC. On prouvera de même
que le côté A C ne fçauroit être plus
grand que
le côté A B; ainfi les deux cô-
tez AB, AC font donc égaux entr'eux.
C. Q. F. D.

J'ai démontré cette Propofition de même qu'elle eft démontrée dans les Oeuvres Pofthumes de Mr Rohaul, m'ayant parue plus convaincante, que celles qui fe trouvent dans les anciennes Editions de ce Livre.

USAGE.

On peut fe fervir très-utilement de cette Propofition pour mesurer l'élevation d'une Tour, ou d'une Obelifque; ainfi fi l'on vouloit fçavoir l'élevation de l'Obelifque AB, il faudroit astendre que le Soleil fut élevé de 45. degrez fur l'horizon; pour avoir l'ombre CB, égale à la hauteur AB, car nous verrons par la fuite qu'au Triangle rectangle, tel que ABC, fi l'angle C eft de 45. degrez, l'angle A fera auffi de 45. par confequent le Triangle fera Ifocele ; c'eft-à-dire, que la hauteur AB fera égale à la longueur de l'ombre CB, laquelle

étant connuë on aura ce qu'on cherche. Nous ometrons la Propofition feptième, comme n'étant d'ucun ufage.

PROPOSITION VIII.

THEOREM E.

Si deux Triangles ont tous les côtez égaux, leurs angles compris par ces côtez égaux, feront auffi égaux entr'eux

Es Triangles ABC & DEF font fup- Fig. 29. pofez avoir leurs côtez égaux les uns aux autres, c'eft-à-dire, que AB, est égale à DE, A CàDF, & BC à EF. Cela étant je dis que l'angle A sera égal à l'angle D, BàE, CàF.

Démonftration.

Cette Propofition peut fe démontrer très-aisement, de même que la quatrième. Car imaginez vous que le premier Triangle a été pofé fur le fecond;cela étant leurs côtez ayant été fuppofez égaux, les extrêmitez des côtez de l'un viendront aboutir fur les extrêmitez des côtez de l'autre, les trois points ABC, convenant avec les trois points DEF, il eft aifé de voir que les angles formez par les côtez égaux, font égaux. C. Q.F.D.

PROPOSITION IX.

PROBLEM F.

Divifer un angle en deux également.

Fig. 30. U'on propofe à divifer en deux également l'angle SRT. Coupez deux

lignes égales RS, TR, mettant le pied du Compas en R, & à quelque ouverture de compas que ce foit décrivant l'arc ST, tirez la ligne ST, & décrivez par la premiere Propofition, le Triangle équilateral SVT. Je dis que la ligne RV, divife l'angle SRT en deux également ; c'eft-àdire , que les angles VRT, VRS font égaux.

Démonftration.

Les Triangles VRS, VRT, ont le coté VR commun, le coté RT a été pris égal au coté RS: la base SV, est égale à VI puifque le Triangle SVT eft équilateral. Donc (par la 8.) les angles SRV, TRV font égaux.

USAGE.

Il est néceffaire de fe fervir de cette Propo-
fition dans les Problêmes fuivans,on s'en fert
encore
dans la plupart des reductions qu'on

fait

fait des figures. Il feroit à fouhaiter qu'on pût divifer un angle en trois,en cing parties égales auffi aifément qu'en quatre, en 8, ou en 16: mais ceci eft d'une Geométrie differente: c'est-à-dire, que cela ne fe peut faire que par le moyen des courbes, c'est-à-dire, des fections coniques. On trouvera cependant dans le beau Dictionnaire de Mathematique de Mr Ozanam,au lieu où il traite de la Geométrie Speculaire, une courbe propre à divifer un angle en trois, en cinq également, qu'il dit être de l'invention de Mr Tfchirnhaus; cette courbe est très-commode, on peut s'en fervir aisément.

PROPOSITION X,

PROBLEM E.

Divifer une ligne en deux également.

ON propofe de divifer la ligne A B

Fig. 31 en deux parties égales, pour cela il ne faut que faire un Triangle équilateral ABC,& divifer (par le Prob. préced.) l'angle C en deux également, par la ligne EC; le point E où cette ligne coupe AB, eft le point du milieu qu'on cherche, ce qui eft bien évident, car le Trian

C