Pl. 1. Fig. 11.

PROPOSITION IV.

THEOREM E.

Les Triangles équiangles ont les côtez proportionnels.

Sle

Iles Triangles ABC, DCE font équiangles; c'eft-à-dire, que les angles ABC, DCE,BAC,CDE font égaux:il y aura même raison de BA àBC,que de CD à CE. Pareillement la raifon de AC à BC, fera la même que la raifon de DE à CE, & la raifon de BA à AC, fera la même que celle de CD à DE. Joignez les Triangles, de forte que les bafes BC,CE foient fur la même ligne ; & continuez les côtez ED,BA: puifque les angles ACB, DEC font égaux; les lignes AC, FE font paralleles, de même que CD, BF (par 28. du 1.) & AFDC fera un parallelograme. Démonftration.

Dans le Triangle BFE, AC eft parallele à la bafe FE, donc (par la 2.) il y aura même raifon de BA à AF ou CD, que de BC à CE: ( & par échange) il y aura même raifon de AB à BC; que de DC à CE. Pareillement dans le même

que

Triangle, CD étant parallele à la base BF, il y aura même raifon de FD, ou AC à DE, de BC à CE (par la 2.) & par échange, il y aura même raifon de AC à BC, que de DE à CE. Enfin puifqu'il y a même raison de BA à BC, que de CD à CE, & même raifon de BC à AC, que de CE à DE, il y aura ( par égalité,) même raifon de BA à AC, que de CD à DE.

Corollaire. Si dans un Triangle on tire une ligne parallele à un des côtez,on fera deux Triangles équiangles.

USAGE.

Cette Propofition eft fort étendue, & elle peut paffer pour un principe très-univerfel dans toutes fortes de mefurages. Car premierement les pratiques ordinaires pour mesurer les lignes inacceffibles, en décrivant un petit Triangle femblable à celui qui eft formé fur le terrain, font établies fur cette Propofition, comme auffi la plupart des inftrumens, fur lesquels fe forment des Triangles femblables à ceux que nous voulons mefurer, comme le quarré Geometrique, le Pantometre, l'Arbalefte, l'Inftrument univerfel de M. Ozanam, & les autres. De plus, nous ne faurions lever le Plan d'une Place, que par cette Propofi tion: de forte que pour en expliquer les

Pi. 1. Fig. 12.

& 13.

ufages, il faudroit donner le premier Livre de la Geometrie Pratique.

PROPOSITION V.

THEOREM E.

Les Triangles qui ont les côtez proportionnels font équiangles.

Siles

Iles Triangles ABC,DEF ont les côtez proportionnels; c'eft-à-dire, s'il y a même raison de AB à BC,que de DE à EF:comme auffi fi la raifon de AB à AC, eft la même que celle de DE à DF: les angles ABC, DEF, A & D, C & F feront égaux. Faites l'angle FEG égal à l'angle B, EFG égal à l'angle C.

Démonftration.

Les Triangles ABC, EFG, ont deux angles égaux: ils font donc équiangles (par le Corol. 2. de la 32. du 1.) & (par la 4.) il y aura même raifon de AB à BC, que de GE à EF. Or on fuppofe qu'il y a même raifon de DE à EF, que de AB à BC: ainfi il y a même raifon de DEà EF, que de EG à EF. Donc ( par la 1. du 5.) DE, EG font égales. Pareillement DF, FG le font auffi, & ( par la

8. du 1.) les Triangles DEF, GEF font équiangles. Or l'angle GEF a été fait égal à l'angle B: donc l'angle DEF, est égal à l'angle B; & l'angle DFE à l'angle C. Ainfi les Triangles ABC, DEF font équiangles.

PROPOSITION VI."

THEOREM E.

Les Triangles qui ont les côtez proportionnels, autour d'un angle égal font équiangles.

I les angles B&E des Triangles ABC, Pl. 1.

y

SD
fon de AB à BC, que de ED à EF; les
Triangles ABC, DEF feront équiangles.
Faites l'angle FEG égal à l'angle B, &
l'angle EFG égal à l'angle C.

Démonftration.

Les Triangles ABC,EGF font équiangles (par le Corol. 2. de la 32. du 1.) ily a donc même raifon de AB à BC, que de EG à EF (par la 4. ) Or comme AB est à BC, ainfi DE à EF: il y a donc même raifon de DE à EF,que de GE à EF. Ainfi ( par la 1. du 5.)'DE,EG font égales: (par & les Triangles DEF, GEF, qui ont les angles DEF, GEF,chacun égal à l'angle

& 13.

Pl. I.

Fig. 14.

B, & les côtez DE, EG égaux avec le côté EF commun ; feront égaux en tous fens (par la 4. du 1.) ils feront donc équiangles:& le Triangle EGF, étant équiangles à ABC; les Triangles ABC, DEF font équiangles.

La Propofition 7. eft inutile.

PROPOSITION VIII.

THEOREM E.

La perpendiculaire tirée de l'angle droit d'un Triangle rectangle, au côté qui lui eft oppofé, le divife en deux Triangles qui lui font femblables.

I. de l'angle droit ABC, on tire une perpendiculaire BD, au côté oppofé AC; elle divifera le Triangle rectangle ABC, en deux Triangles ADB, BDC, qui feront femblables ou équiangles au Triangle ABC.

Démonftration.

Les Triangles ABC, ADB ont le même angle A: les angles ADB,ABC font droits ils font donc équiangles (par le Corol. 2. de la 32. du 1.) Pareillement les Triangles BDC,ABC, ont l'angle C commun : & les angles ABC, BDC étant droits, font auffi égaux. Donc les-Trian