FD, DE; elles le feront auffi aux lignes Démonftration. Les lignes AB, GI font paralleles ; & Pangle IAB eft droit, puifque IA eft perpendiculaire au plan BC: donc (par la 29. du 1.) l'angle AIG eft droit, AIH eft auffi droit: Donc ( parla 4. ) la ligne AI eft perpendiculaire au plan GH; & l'étant auffi au plan BC, les plans BC, FE feront paralleles (par la 14.) PROPOSITION XVI. THEOREM E.. Si un plan en coupe deux qui foient paralleles, fes communes fections avec eux feront paralleles. Fig. 24.00 SL Démonftration. Les lignes AF, BE font dans les plans AC, BD, & n'en fortent pas (par la 1.) donc fi elles fe rencontrent en G,les plans Ee Pl. 2. Fig. 25. fe rencontreront auffi, & par confequent ils ne feront pas paralleles, contre ce que nous avons fuppofé. USAGE. Nous démontrons par cette Propofition, dans le traité des Sections coniques, & cylindriques,que le Cone, ou le Cylindre étant coupé par un plan parallele à sa bafe, les fections font des Cercles; nous décrivons les Aftrolabes: nous prouvons dans la Gnomonique, que les angles que font les Cercles horaires,avec un plan parallele à un grand Cercle, font égaux à ceux qu'ils forment dans le même Cercle: nous démontrons dans la Perspective, que les images des lignes objectives perpendiculaires au tableau, concourent au point de vûë. PROPOSITION XVII. THEOREM E. 'Deux lignes font divifées proportionnellement par des plans paralleles. Q UE les lignes AB, CD foient divifées par des plans paralleles. Je dis que AE eft à EB,en même raifon que CF à FD, tirez la ligne AD, qui rencontre le plan EF, au point G: tirez auffi AC, BD, FG, EG. Démonftration. Le plan du Triangle ABD, coupe les trois plans: donc (par la 16.) les fections BD,ÉG feront paralleles:& ( par la 2. du 6.) il y aura même raifon de AE à EB,que de AG à GD. Pareillement le plan du Triangle ADC, coupe les plans EF,AC: donc les fections AC,GF,font paralleles, & il y aura même raifon de FC à FD, que de AG à GD,c'eft-à-dire,que de'AE àEB. PROPOSITION XVIII. THEOREM E. Si une ligne eft perpendiculaire à un plan z tous les plans dans lefquels elle fe trouvera, feront perpendiculaires au même plan. I la ligne AB eft perpendiculaire au pl. z. S plan elle se trouvera, feront perpendiculaires au plan ED. Que AB foit dans le plan AE, qui ait pour commune fection avec le plan ED, la ligne BE à laquelle on tire la perpendiculaire FI. · pl. 2. Fig. 27. Démonftration. Les angles ABI,BIF font droits:donc les lignes AB,FI font paralleles: & (par la 8.) FI fera perpendiculaire au plan ED. Áinfi le plan AE, fera perpendicu laire au plan ED ( par la défin. 5. ) USAGE. La premiere Propofition de la Gnomonique,& qui peut pasjer pour fondamentale, ef établie fur cette Propofition: de laquelle on fe fert auffi fort fouvent dans la Trigonometrie Spherique, dans la Perfpective, & géneralement dans tous les traitez qui font obligez de confiderer plufieurs plans. PROPOSITION XIX.. THEOREM E. من Si deux plans qui fe coupent font perpendiculaires un autre, leur commune fection lui fera auffi perpendiculaire. S I les plans AB, ED qui fe coupent, font perpendiculaires au plan IK; leur commune fection EF eft perpendiculaire au plan IK. Démonftration. Si EF n'eft pas perpendiculaire au plan IK; qu'on tire dans le plan AB, la ligne GF,perpendiculaire à la commune fection BF,& puifque le plan AB eft perpendiculaire au plan IK; la ligne GF, fera perpendiculaire au même plan. Qu'on tire auffi FH perpendiculaire au plan IK. Notis aurions ainfi deux perpendiculaires au même plan,tirées par le même point F, (contre la 13. Prop.) Il faut donc concluse que EF eft perpendiculaire au plan IK. USAGE. Nous démontrons par cette Propofition, que le Cercle qui paffe par les poles du monde & par le zenith, eft le meridien, & coupe en deux également tous les arcs diurnes;& les aftres employent autant de temps, depuis leur lever jufqu'à ce Cercle, qu'ils en employent depuis qu'ils y font arrivez, jufqu'à leur coucher. que PROPOSITION XX. THEOREM E. Si trois angles plans compofent un angle folide, les deux doivent être plus grands que le troifiéme. Fg. 28. I les angles BAC, BAD, CAD Pl. 23 compofent l'angle folide A: & fi |