plans de l'un font semblables aux plans de l'autre ; & fi tous leurs angles font égaux, de forte qu'on les puiffe placer en ligne droite, c'est-à-dire,que AE, EF, HE,EI, GE,EC foient des lignes droites,& qu'il y ait même raifon de AE à EF, que de HE à EI, & que de GE à EC. Je dois démontrer que quatre folides font continuellement proportionnels, felon la raifon du côté EA, à celui qui lui eft homologue qui fera EF, ou DI.

Démonftration.

Le parallelepipede AB, a même raison à EL de même hauteur, que la bafe AH à la bafe EO (par la 32. ) Or la bafe AH à labafe EO,a même raifon que AE à EF (par la 1. du 6.) Pareillement la raison du folide EL au folide EK est la même que de la bafe EO à la base ED,c'est-à-dire, que de HE à EI. Enfin le folide EK au folide EN, a même raison que la hauteur GE à la hauteur EC (par le Corol préced.) ou prenant la ligne EF pour la hauteur commune,que de la bafe GI à la bafe CI, c'eft-à-dire, que de GE à EC. Or la raifon de AE à EF, de HE à EI,de GE à EC, eft la même comme nous le fuppofons:Par confequent,il y a même raifon du folide AB à EL, que de EL à EK, & de EK à CD. Donc (par la défin. 1 2. du 5.)

la raifon de AB à CD, fera triplée de celle de AB à EL, ou de AE à fon côté homologue EF.

Coroll. I. Il s'enfuit que les parallelepipedes femblables, font comme les cubes de leurs côtez homologues, parce que les cubes font auffi en raison triplée

de leurs côtez

Coroll. 2. Si quatre lignes font continuellement proportionnelles, le parallelepipede décrit fur la premiere, a même raifon à un femblable parallelepipede décrit fur la feconde, que la premiere à la quatrième, car la raifon de la premiere à la quatrième, eft triplée de la premiere à la feconde.

USAGE.

le

Vous pouvez comprendre par cette Propofition,que le célébre Problême de la duplication du cube proposé par l'Oracle,confif te à trouver deux moyennes continuellement proportionnelles. Car fi vous pofez pour premier terme,le côté du premier cube; que quatriéme terme foit le double de ce premier: fi vous trouviez deux moyennes propartionnelless le cube décrit fur la premiere ligne auroit même raifon à celui qu'on décriroit fur la feconde, que la premiere ligne à la quatrième,qui feroit comme un à deux. Nous corrigeons auffi par cette Propofition la fauffe opinion de ceux qui s'imaginent,

pl. 2.

Fig. 3 & 37.

que les folides femblables, font en même raifon que leurs côtez: comme fi un cube d'un pied de long étoit la moitié d'un cube de deux pieds de long, quoiqu'il ne foit que fa buitiéme partie. C'est le principe de la regle de calibre, laquelle fe peut appliquer non-feulement aux boulets de canon, mais encore à toute forte de corps femblables. Par exemple, j'ai vu une perfonne qui vouloit faire une Architecture navale,& qui vouloit garder les mêmes proportions dans toutes fortes de Vaisseaux : mais il raisonnoit ainfi, fi un Vaiffeau de cent tonneaux doit avoir cinquante pieds de quille, celui de deux cens devra voir cent pieds de quille. En quoi il fe trompoit, car au lieu de faire un Vaiffeau double du premier, il le faifoit octuple. Il devroit donner au fecond Vaiffeau, pour être double du premier, un peu moins de foixante-trois pieds.

PROPOSITION XXXIV.

THEOREM E.

Les parallelepipedes égaux ont les bases &
les hauteurs réciproques, & ceux qui
ont les hauteurs & les bases réciproques,
font égaux.

Iles parallelepipedes AB, CD font
égaux, ils auront les bafes & les hau-

teurs réciproques; c'eft-à-dire, il y aura. même raifon de la bafe AE à la bafe CF, que de la hauteur CH à la hauteur AG. Ayant fait CI égale à AG, tirez le plan IK parallele à la bafe CF.

Démonftration.

Le parallelepipede AB, a même raison à CK de même hauteur, que la base AE à CF (par la 32.) Or comme AB eft à CK, ainfi CD eft au même CK, puifque AB & CD, font égaux : & comme CD eft à CK, qui a la même bafe, ainfi la hauteur CH eft à la hauteur CI ( par le Corol. de la 32.) donc, comme la base AE eft à la bafe CF, ainfi la hauteur CH eft à la hauteur CI ou AG.

J'ajoûte, que s'il y a même raifon de AEà CF, que de la hauteur CH à la hauteur AG;les folidesAB,CD feront égaux, Démonftration.

Il y a même raifon de AB à CK de même hauteur, que de la bafe AE à la bafe CF (par la 32.) il y a auffi même raifon de la hauteur CH à la hauteur CI ou AG, que de CD à CK: nous fuppofons que la raifon de AE à CF, eft la même que celle de CH à CI ou AG: ainfi il y aura même raifon du folide AB au folide CK, que du folide CD au même folide CK. Donc (par la 9. du 5.)

Pl. 2. Fig. 38. 19.& 40.

les folides AB, CD font égaux.
USAGE.

Cette réciprocation des bafes, & des hauteurs, rend ces folides faciles à mefurer elle a même quelque analogie avec la Propofition quatorziéme du fixième Livre, qui porte que les parallelogrames équiangles & égaux, ont les côtez réciproques, & elle démontre auffi bien qu'elle, la pratique de la regle de trois.

La Propofition 35. est inutile.

PROPOSITION XXXVI.

THEOREM E.

Si trois lignes font continuellement proportionnelles, le parallelepipede fait de ces trois lignes eft égal à un parallelepipede équiangle, qui a tous jes côtez égaux à celle du milieu.

I les lignes A, B, C font continuellement proportionnelles, le parallelepipede EF, formé de ces trois lignes, c'està-dire, qui a le côté FI égal à la ligne A, EH égal à B, & HI égal à C, eft égal au parallelepipede équiangle KI, qui a les côtez LM, MN, KN, égaux à la ligne B. Qu'on tire des points H & N les lignes