PROPOSITION XVI.

THEOREM E.

L'angle exterieur d'un Triangle fait par la continuation d'un côté, eft plus grand que chacun des interieurs oppofez.

Ontinuez le côté BC du Triangle Fig. 39. ABC, je dis que l'angle exterieur ACD, eft plus grand que l'angle interieur oppofé ABC, ou BAC. Imaginezvous que le Triangle ABC fe meut le long de la ligne BD, & qu'il eft transporté en CED.

Démonftration.

Il eft impoffible que le Triangle ABC fe meuve de la forte, fans que le point A change de place, allant vers E: Or-s'il eft meu vers E, l'angle ECD, c'est-à-dire ABC, eft plus petit que l'angle ACD: donc l'angle interieur ABC, eft plus pel'exterieur ACD.

tit que

Il eft facile de prouver que l'angle A eft auffi plus petit, que l'externe ACD: car ayant prolongé le coté AC jufqu'en F, les angles oppofez BCF, ACD, font égaux (par la 15.) & faifant gliffer le

Pl. 3.

Triangle ABC le long de la ligne ACF je démontrerai que l'angle BCF est plus grand que l'angle A.

USAGE.

Nous tirons de cette Propofition plufieurs Fig. 40. conclufions trè-utiles. La premiere que d'un point donné, on ne peut tirer qu'une perpendiculaire à une ligne. Par exemple, que la ligne AB foit perpendiculaire à BC: je dis que AC ne fera pas perpendiculaire, parce que l'angle droit ABD qui eft exterieur eft plus grand que l'interieur ACB: donc AC B ne fera pas un angle droit, ni AC une perpendiculaire.

La feconde, qu'on ne peut tirer du même point A, que deux lignes égales ; par exemple AC, AD fur une même ligne ou plan ED, & que fi on en tire une troifiéme AE, elle ne fera pas égale aux autres. Car puifque AC, AD font égales, les angles ACD, ADC font égaux (par la 5.) or dans le Triangle AEC, l'angle externe ACB eft plus grand que l'interne AEC: & ainfi Pangle ADE, eft plus grand que AED: donc les lignes AE, AD, & par confequent AC, ne font pas égales.

La troifiéme, eft que fi la ligne AC, fait Pangle ACB aigu, & ACE obtus, la perpendiculaire tirée du point A, tombera du côté de l'aign; car fi on difoit que AE eft

perpendiculaire; que l'angle AEF eft droit, l'angle droit AE Fferoit plus grand que l'angle obtus ACE ce qui eft impoffible donc &c. Ces conclufions nous fervent pour mefurer les parallelogrames, les Tiangles, &les Trapezes, & pour les reduire aux figures rectangles.

On peut auffi facilement démontrer par cette Propofition la 27, comme on le peut voir dans les Elemens d'Euclide de M. Oza

nam.

Nous omettrons la Propofition 17.comme n'étant qu'un Corollaire de la 32.

PROPOSITION XVIII.

THEOREM E.

Dans quelque Triangle que ce foit le plus grand côté eft oppofé au plus grand angle.

Q

Ue le côté BC du Triangle ABC foit plus grand que le côté AC, je dis que l'angle BAC oppofé au côté BC, eft plus grand que l'angle ABC, oppofé au côté AC. Coupez dans BC, la ligne CD égale à AC, & tirez AD.

Démonftration.

Puifque les côtez AC, CD font égaux,

Fig. 42.

le Triangle ACD fera Ifocele ; & ( par la 5.) les angles CDA,CAD feront égaux. Or l'angle total BAC, eft plus grand que l'angle CAD; donc l'angle BAC, eft plus grand que l'angle CDA; lequel étant exterieur, eu égard au Triangle ABD, FS: 42 eft plus grand que l'interieur ABD (par

Fg.

& 43.

Fig. 43.

la 16.) donc l'angle BAC eft plus grand que l'angle ABD, donc que le plus grand côté eft oppofé au plus grand angle.

re,

La Propofition 19. eft, pour ainfi dil'inverfe de celle-ci, ne difant autre chofe, que le plus grand angle eft oppofé au plus grand côté ; ainfi il me paroît qu'il eft inutile de la rapporter ici, puifque la démonstration eft la même que la précedente.

USAGE.

Cette Propofition peut fervir fur le terrain, pour connoître de deux angles d'un Triangle celui qui eft le plus grand, lors qu'on n'a point d'inftrument pour les mesurer: car fi, par exemple, le côté BC eft plus grand que AC, qu'on peut mefurer à fes pas, on connoît par cette Propofition que Tangle BAC, eft plus grand que l'angle C

BA.

PROPOSITION XX.

THEOREM E.

Dans quelque Triangle que ce foit, deux côtez pris enfemble fous plus grands que le troifiéme.

Ette Propofition fe démontre aifé- Fig. 46; ment par la définition de la ligne droite; car il eft certain que dans le Triangle TLV, les deux côtez TL, & LV font plus grands pris ensemble que le côté TV, ce côté ici pouvant être confideré comme une ligne droite, qui eft la plus courte qu'on peut tirer du point T, au point V. Il n'en eft pas de même des deux autres côtez pris ensemble, puif'ils renferment une efpace. C. Q. F.

D.