HP, Nq perpendiculaires aux plans des bafes: elles feront égales,puifque les an gles folides E & K font fuppofez égaux, de forte que s'ils fe penetroient, il ne fe furpafferoient pas l'un l'autre, & que les lignes EH, KN font fuppofées égales. Donc les hauteurs HP, Nqfont égales.

Démonftration.

Il y a même raifon de A à B, ou de FI à LM;que de B à C,ou de MN à HI: ainfi le parallelograme FH compris fous FI, IH, eft égal au parallelograme LN, compris fous LM,MN égales à B (par la 14. cu 6.) Les bafes font donc égales. Or les hauteurs HP, Nq le font auffi. Donc (par la 31.) les parallelepipedes font

égaux.

PROPOSITION XXXVII.

THEOREME.

Si quatre lignes font proportionnelles, les parallelepipedes femblables décrits deffus ces lignes, font proportionnelles : & fi les parallelepipedes femblables font proportionnels, les côtez homologues le font auffi.

SIA
I A eft à B en même raifon que Cà Pl. 2.
Ꭰ ; les parallelepipedes femblables Fig. 41.

qui auront pour côtez homologues les lignes A, B,C, D, feront en même raifon. Démonftration.

Le parallelepipede A eft au parallelepipede B en raifon triplée de celle de la ligne A à la ligne B, ou de celle de la ligne C à la ligne D. Or le parallelepipede C au parallelepipede D, eft auffi en raifon triplée de celle de Cà D (par la 33.) Il y a donc même raifon du parallelepipede A au parallelepipede B, que du parallelepipede C, au parallelepipede D.

J'ajoûte que fi les parallelepipedes A, B, C, D, font proportionnels, les côtez homologues A, B, C, D, feront auffi proportionnels.

Démonftration.

Puifque (par la fuppofition) le parallelepipede A, eft au parallelepipede B, comme le parallelepipede C, au parallelepipede D, & que (par la 33.) le parallelepipede A, eft au parallelepipede B, en raifon triplée de celle du côté A, au côté homologue B: & le parallelepipede C, au parallelepipede D, en raifon triplée de celle du côté C, au côté homologue D; il y a même raifon du côté A, au côté B, que du côté C, au côté D.

PRO

PROPOSITION XXXVIII.

THE ORE M E.

Si deux plans font perpendiculaires l'un à à Pautres la perpendiculaire tirée d'un point d'un des plans à l'autre, tombera fur la commune fection.

du I les plans AB, CD, étant perpen Pl. 20 diculaires l'un à l'autre, on tire du Fig. 42. point E du plan AB, une ligne perpendiculaire au plan CD; elle tombera fur AG, commune fection des plans. Tirez. EF perpendiculaire à la commune fection AG.

Démonftration.

La ligne EF perpendiculaire à AG, commune fection des plans, qu'on fup-pofe perpendiculaires, fera perpendicu laire au plan CD ( par la défin. 4.) & puifqu'on ne peut pas tirer du point E deux perpendiculaires au plan CD (par la 13.) la perpendiculaire tombera fur la commune fection AG.

USA G E.

Cette Propofition devoit être après l'a 17. puifqu'elle regarde les folides en geGg

neral. Elle nous fert dans le traité des Af trolabes, pour prouver que dans l'Analemme, tous les Cercles perpendiculaires au meridien, fe marquent par des lignes

droites.

Pl. 2. Fig. 43.

PROPOSITION XXXIX.

THEOREM E.

Si on tire dans un parallelepipede, deux plans qui divifent en deux également les côtez oppofez, leur commune fection, & la diagonale fe coupent auffi également.

UE les côtez oppofez du parallelepipede AB foient divifez en deux également par les plans CD, EF, leur commune fection GH, & la diagonale BA se diviferont également au point O. Tirez les lignes BG, GK, AH, LH.

Je prouve premierement qu'elles ne font qu'une ligne droite: car les Triangles DBG, KMG ont les côtez DB, KM égaux; puifqu'ils font les moitiez des côtez égaux; comme auffi GD, GM. De plus DB, KM étant paralleles, les angles alternes BDG GMK feront égaux (par la 28. du 1.) ainsi ( par la

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4. du 1.) les Triangles DBG, KGM feront égaux en tout fens ; & par confequent les angles BGD, KGM: Or (par la 15. du 1.) BG, GK ne font qu'une feule ligne; comme auffi LH, HA; donc ALBK n'eft qu'un feul plan dans lequel fe trouve la diagonale AB, & GH commune fection des plans. Le plan ALBK, coupant les plans paralleles AN, CD aura les communes fections GH, AK paralleles : & (par la 4. du 6.) il y aura: même raifon de BK à BG, que de BA àt BO, & de AK à OG, ( par la du 6.) Or BK eft double de BG: donc BA eft double de BO; comme AK égale à HG,, eft double de GO. Ainfi les lignes GH,, AB fe coupent également au point O.

4.

Corol. 1. Tous les diametres fe divi-fent au point O.

Corol. 2. On peut mettre ici quelques Corollaires qui dépendent de plufieurs Propofitions: par exemple, que les prifmes triangulaires de même hauteur, font en même raifon que leurs bafes: car les parallelepipedes defquels ils font la moitié (par la 32.) font en même raifon que les bafes: ainfi les moitiez des bafes, & les moitiez des parallelepipedes ; c'est-àdire, les prifmes feront en même raifon.. Corol 3.2 Les prifmes polygones de