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Fig. 47

PROPOSITION XX I.

THEOREM E.

Si deffus la même base, on décrit un petit Triangle dans un grand, les côtez du petit feront moindres que ceux du grand, & ils feront un angle plus grand.

Q

U'on décrive le petit Triangle A DB; dans le Triangle ACB, deffus la même base AB. Je dis premierement que les côtez AC, BC, font plus grands que les côtez AD, BD. continuez le côté AD jufqu'en E.

Démonftration.

Dans le Triangle ACE, les côtez A C, CE font plus grands que le feul côté AE, (par la 20.) donc en y ajoûtant le côté EB, les côtez AC, CB feront plus grands que les côtez AE,EB.Pareillement dans le Triangle DBE, les côtez BE,ED, font plus grands que le feul côté BD; & ajoûtant le côté AD, les côtez AE, ÉB, feront plus grands que AD, BD. Mais AE, EB font plus petits que AC, AB. Donc à plus forte raifon AD, DB, feront plus petits que AC, CB..

Je dis de plus que l'angle ADB eft plus grand que l'angle ACB;car l'angle ADB eft exterieur, eu égard au Triangle DEB. Il est donc plus grand que l'interieur DEB (par la 16.) pareillement l'angle DEB étant exterieur, eu égard au Triangle ACE, eft plus grand que l'angle ACE: donc l'angle ADB eft plus grand que l'angle ACB.

PROPOSITION XXII.

PROBLEM E.

Décrire un Triangle qui ait fes côtez égaux à trois lignes données, pourvû que deux prifes enfemble foient plus grandes que la troifiéme.

Q

U'on propose à décrire un Triangle Fig. 48. qui ait les trois côtez égaux à trois lignes données A, B, D, & E. Prenez avec le Compas la ligne D, & pofant une de fes pointes au point B ; faites un arc. Prenez enfuite la ligne E, & mettant le pied du Compas au point A, faites un autre arc qui coupe le premier au point C. Tirez les lignes AC, BC. Je dis que le Triangle ABC, est tel que vous le défirez,

Démonftration.

Le côté AC eft égal à la ligne E, puisqu'il aboutit à un arc décrit du centre A à l'ouverture de la ligne donnée E. Pareillement le côté BC, est égal à la ligne D, puifqu'il aboutit à un arc décrit du centre B, à l'ouverture de la ligne donnée D: & de plus la base AB eft la troifiéme ligne donnée; donc les trois côtez AC, BC, AB font égaux aux lignes E, D, AB.

J'ai ajoûté une condition , que deux des lignes prifes ensemble, foient plus grandes que la troifiéme; parce que les arcs ne pourroient pas fe couper, fi les lignes D& E, étoient plus petites que la ligne AB, comme il eft évident (par la 20.)

USAGE.

Cette Propofition nous fert confiderablement pour faire une figure semblable à une autre. Les Ingenieurs ne peuvent s'en passer lorfqu'ils veulent toifer le vuide des endroits, où on a pris des Terres pour conftruire des Ouvrages; car après avoir réduit ces figures en Triangles, on cherche la valeur des côtez pour rapporter fur le Papier, & pouvoir par là connoître la fuperficie de toutes fortes de figures. On pourra voir nôtre Traité de la Geométrie des Ingenieurs, où

Les

je traite du détail du toifé des Ouvrages de Fortification en general.

PROPOSITION XXIII.

PROBLEM E.

Faire un angle égal à un autre, à un point d'une ligne.

Q

,

U'on propofe à faire un angle égal à Fig. 5o. EDF, au point A de la ligne AB. & 51. Décrivez des points A & D, comme centres, deux arcs BC, EF à même ouverture de Compas. Prenez la diftance EF & l'ayant transportée en BC, tirez la ligne AC. Je dis que les angles BAC, EDF font égaux.

Démonftration.

Les Triangles BAC, EDF ont les côtez A B, AC, égaux DE, & DF puifque les arcs BC, EF ont été décrits à la même ouverture de Compas: ils ont auffi les bases BC, EF égales : donc les angles BAC, EDF font égaux ( par le 8.)

USAGE.

Ce Probleme eft fi nécessaire dans la Geodefie, dans les Fortifications, dans la Per

Fig. 52. & 53,

Spective, dans la Gnomonique, & dans toutes les autres parties des Mathematiques, que la plupart de leurs pratiques feroient impoffibles, fi on ne fçavoit faire un angle égal à un autre, ou de tel nombre de degrez qu'on voudroit.

PROPOSITION XXIV. & XXV.

THEOREME.

De deux Triangles qui ont les deux côtez
égaux, celui qui a le plus grand angle
a auffi la plus grande bafe ; & celui qui
a la plus grande base, a auffi le plus
grand angle.

Q

Ue les côtez AB, DE; AC, DF; des Triangles ABC, DEF foient égaux; & que l'angle BAC foit plus grand que l'angle EDF. Je dis que la base BC, eft plus grande que la base F E. Faite l'angle EDG égal à l'angle BAC (par la 32. ) & la ligne DG égale à AC, puis tirez la ligne EG. Premierement les Triangles ABC, DEG, ayant les côtez AB, DE, AC, DG égaux; & l'angle EDG égal à BAC; ils auront auffi les bafes BC, EG égales ( par la 4. ) & les

lignes

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