USAGE. Pl. 4. Nous avons dans ces Propofitions une Fig. 74. pratique pour partager un champ triangulaire en deux parties égales, par exemple, dans le Triangle ABC. Divifez la ligne BC,que vous prendrez pour la bafe, en deux également en D: Je dis que les Triangles ABD, ADC font égaux. Car fi vous vous imaginez une ligne parallele à BC, qui paffe par A, ces Triangles auront des bafes égales, & feront entre les mêmes paralleles, & par confequent égaux. Nous pourrions faire d'autres partages, fondez fur la même Propofition que je laiffe, de peur d'être trop long. Les Propofitions 39. & 40. font inutiles. REMARQ U E. Comme il n'eft point fait mention des Fig. 75. & 76. je dirai qu'elles fervent à nous faire voir le moyen d'augmenter, ou de diminuer la hauteur d'un Triangle fans changer fa grandeur; par exemple, s'il étoit queftion de changer le Triangle AB Cà un autre AED qui lui foit égal, & compris entre la base AC & fa parallele FC, il faut prolonger AB jufqu'en E, & tirer la ligne EC à laquelle l'on menera du point B une parallele BD, qui coupe la bafe AC du Triangle ABC au point D, & tirant la ligne ED l'on formera un Triangle AED égal à ABC. Fig. 75. Pl. 5. Démonftration. Les Triangles CBE,CED ayant la même base EC & étant renfermés entre les mêmes paralleles EC, BD font (par la 37.) égaux. Et comme le Triangle EGC eft commun à ces deux Triangles, l'on voit que les petits Triangles EBG, DGC font égaux, & qu'étans joints à la Figure ABGD forment les Triangles ABC, AED égaux. Fig. 77, Dans la Figure 76. il s'agit de reduire auffi un Triangle BAC à un autre BDE qui lui foit égale, & renfermé entre les paralleles BE & DG;l'on voit qu'il faut tirer la ligne DC & lui mener la parallele AE qui rencontre BC prolongé au point E enfuite tirer la ligne DE qui donnera le Triangle BDE égal au Triangle ABC. La Démonftration eft la même que celle de la Fig. 75. PROPOSITION XLI. THEOREM E. Un parallelograme fera double d'un Triangle, fi étant entre les mêmes paralleles, ils ont leurs bafes égales. I le parallelograme ABCD, & le Triangle EBC font entre les mêmes paralleles AE, BC; & s'ils ont la même bafe BC, ou s'ils ont des bafes égales ; le parallelograme fera le double du Triangle. Tirez la ligne AC. Démonftration. Les Triangles ABC, BCE, font égaux (par la 30.) Or le parallelograme ABC D eft double du Triangle ABC (par la 34.) il eft donc double du Triangle BCE. Il feroit pareillement double d'un Triangle qui ayant fa base égale à BC, feroit entre les mêmes paralleles. USAGE. La Methode ordinaire de mesurer l'aire on la furface d'un Triangle, eft fondée fur cette Propofition: Qu'on propofe le Triangle ABC: on tire de fon angle A la ligne AD,perpendiculaire à la baje BC; & multipliant la perpendiculaire AD par la demie bafe BE, le produit donne l'aire du Trianglesparce que multipliant AD on EF par BE,nous avons un rectangle BEFH qui eft égal au Triangle ABC. Car le Triangle ABC eft la moitié du rectangle HBCG(par la 41.) auffi bien que le rectangle BEFH. Pl s Fig. 78. Nous mefurons toute forte de rectilignes, Pl. s. comme ABCDE, le partageant en Trian- Fig. 79. gles BCD, ABD, AED, tirant les lignes AD & BD,& les perpendiculaires CG,BF, El. Car multipliant la moitié de BD, par CG, & la moitié de AD, par EI, & par Pl. 5. Fig. 80. & 81. BF, nous avons l'aire de tous ces Trian gles: & les ajoûtant ensemble, la fomme est égale au rectiligne ABCDE. Nous trouvons l'aire des Poligones reguliers, en multipliant la moitié de leur contour, par la perpendiculaire tirée du centre à un de leurs côtez: car multipliant IG par AG, on aura le rectangle HKLM égal au Triangle AIB:Et faifant le même pour tous les autres Triangles, prenant toûjours les demi-bafes, on aura le rectangle HKON, qui a le côté KO compofé des demi-bafes, & par confequent égal au demi-contour; & le côté HK égal à la perpendiculaire IG. C'eft fuivant ce principe, qu' Archimede a démontré, qu'un Cercle étoit égal à un rectangle compris fous le demi-diametre, & fous une ligne égale à fa demi-circonference. Mais cela fe trouve démontré autrement dans le Theor, 6. de la Planimetrie de Monfieur Ozanam. PRO PROPOSITION XLII. PROBLEM E. Faire un Parallelograme égal à un Triangle, fous un angle donné. F2. 82. N defire un Parallelograme, qui Pl. 5. foit égal au Triangle ABC, & qui & s ait un angle égal à l'angle E. Partagez la bafe BC en deux également au point D: tirez AG parallele à BC, (par la 31.) Faites auffi l'angle CDF égal à l'angle E, (par la 23.) Et enfin tirez la parallele C G. La figure FDCG eft un parallelogra me, puifque les lignes FG, DC, DF,CG, font paralleles: Il eft égal au Triangle ABC, & l'angle CDF, est égal à l'angle E. Démonftration. Le Triangle ADC eft la moitié du parallelograme FDCG; (par la 41.) il eft auffi la moitié du Triangle ABC, puifque les Triangles ADC, ADB font égaux (par la 37.) Donc le Triangle ABC eft égal au parallelograme FDCG. USAGE. Cette Propofition & les deux fuivantes, font comme trois Lemmes pour réfoudre la · Prop. 45. F |