& en O:qu'on tire auffi les lignes MOH, GIR, paralleles à AB:les rectangles GC, LK, PH, MB, NR feront des quarrez (par le Corol. de la 4. )

:

Démonftration.

Le quarré ADEF, eft égal à toutes fes parties les rectangles LB,OD,PM font compris fous des lignes égales à AB. Si vous ajoûtez le rectangle MI au rectangle PH;vous aurez un rectangle compris fous une ligne égale à AB, & fous une autre égale àCB,ou BD.Il ne refte que le quarré GC,qui eft celui de AC.Donc le quarré de AD est égal à quatre rectangles compris fous AB,BD,& au quarré deAC.

Par les nombres.

Que la ligne AB,foit de 7. parties: A C, de 3; BC, de 4, auffi-bien que BD. le quarré de AD, 1 1. fera 121.Un rectangle fous AB, 7 ; & BD, 4, eft de 28 lequel étant pris quatre fois, font 112, le quarré de 3 eft 9.Or 112 & 9. font 121. USAGE.

que

Cette Propofition fert principalement pour démontrer le Foyer d'une Parabole eft éloigné de fon fommet d'une quantité égale à la quatrième partie du Parametre de Paxe, comme l'on peut voir dans le Traité des Sections Coniques de M. Ozanam. Elle fert auffi pour réfoudre autrement le

Pl..

Problême,qui a déja été réfolu dans la Propofition 5. comme vous allez voir. Trou- Fig. s.

ver en nombres les deux côtez d'un rec-
tangle, dont on connoît le contour &
l'aire. Que le contour du rectangle ABCD
foit de 28. pieds, & l'aire de 48. Prenez
fur le plus grand côté AB prolongé,les deux
lignes BE,BF,égales chacune à l'autre cô-
té BC, & alors la ligne AE fera la fomme
des deux côtez AB,BC, & par confequent
de 14. pieds, parce qu'elle eft la moitié du
contour, qui a été fuppofé de 28. pieds,
la ligne AFfera la difference des mêmes cô-
tez que l'on pourra connoître en cette forte.

Puifque le quarré de la ligne AE ou
196. est égal à quatre rectangles fous les li-
gnes AB, BE, on AB, BC, on à 192, &
au quarré de la ligne AF, fi de 196, on
ôte 192. le reste 4. fera le quarré de la li-
gne AF, laquelle par confequent vaudra 2.
Si de la ligne AE, on ôte AF, & fi l'on
ôte 2. de 14. il reftera 12, peur la ligne
EF, dont la moitié donnera 6. pour cha-.
cune des deux lignes égales BE, BF, c'est-
à-dire, pour le plus petit côté BC. Et fi à
la ligne AF on ajoûte BF,ou z à 6, an au-
ra 8 pour le plus grand côté AB. Ainfi les
deux côtez AB, BC, feront connus.

Les deux Propofitions 9. & 10. ne font pas fort confiderables, d'autant qu'on peut ..

s'en paffer dans ces Elemens. Je ne les ai néanmoins pas obmifes, mais vous pouvez les paffer fi vous voulez, pour vous attacher principalement à la 11. qui eft très-confiderable, & qu'il eft bon d'entendre parfaitement.

Pl. I. Fig. 15.

PROPOSITION IX.

THEOREM E.

Si une ligne eft divifée également, & inégalement ; les quarrez des parties inégales feront doubles du quarré de la moitié de la ligne, & de celui de la partie d'entredeux.

Q

U'ON divife la ligne AB en deux également, au point C, & inégalement, au point D. Les quarrez des parties inégales AD,DB,feront doubles des quarrez de AC,qui eft la moitié,de AB, & du quarré de l'entre-deux CD. Tirez à AB, la perpendiculaire CE,égale à AC: tirez auffi les lignes AE, BE,, & la perpendiculaire DF;comme auffi FG, parallele à CD: tirez enfuite la ligne AF.

Démonftration.

Les lignes AC, CE, font égales; & l'angle Ceft droit:donc (par la 5. du 1.)

les

les angles CAE, CEA,font égaux & demi-droits. Pareillement les angles CEB, CBE, GFE, DFB font demi-droits, les lignes GF, GE, DF, DB font égales, & l'angle total AEB eft droit. Le quarré de AE(par la 47. du 1.) eft égal aux quarrez de AC, CE, qui font égaux: Donc il eft double du quarré de AC. De mème le quarré de EF eft double du quarré de GF, ou CD: or le quarré de AF, eft égal aux quarrez de AE, EF, puifque l'angle AEF eft droit;donc le quarré AF, eft le double des quarrez de AC, CD. Ce même quarré AF eft égal aux quarrez de AD,DF ou DB,puifque l'angle D eft droit donc les quarrez de AD,DB, font doubles des quarrez de AC, CD. Par les nombres.

Que AB foit 10; AC, 5; CD, 3 ; DB 2: les quarrez de AD, 8, & DB, 2; c'est-à-dire 64, & 4, qui font 68, font doubles du quarré AC qui eft 25, & du quarré de CD, 3, qui eft 9;car 25 & 9, font 34 qui eft la moitié de 68.

USAGE. Cette Propofition fert à réfoudre facile-Pl. 1. Fig. 17. ment le Problême fuivant, qui fans cela paroît plus difficile. Trouver les deux côtez d'un rectangle, dont on connoît la diagonale, & la fomme des deux côtez inégaux.

I

Que la diagonale AC du rectangle AB CD foit de 26 pieds, & la fomme des deux éotez AB, BC, foit de 34 pieds. Prolongez le plus grand côté AB vers E, en faifant BE égale à BC, pour avoir la fomme AE des deux côtez AB, BC, qui fera de 34. pieds: & divifez cette fomme AE en deux également au point F, & chacune des deux moitiez AF, EF, fera de 17. pieds. Après cela faites le raifonnement fuivant.

Puifque les quarrez des deux lignes AB, BE, c'est-à-dire, (par la 47. du 1.) te quarré de la feule ligne AC, on 676, eft double des quarrez des lignes AF, BF, fa moitié 338. fera la fomme des quarrez. des lignes AF, BF:& comme le quarré de AF eft 289, il s'enfuit que fi l'on ôte ce quarré 289 de la moitié précedente 338, il restera 49 pour le quarré de la ligne BF, laquelle par confequent vaudra 7. Si à la ligne AF on ajoûte BF: ou 17 a7, l'on aura 24 pour le plus grand côté AB: & fi de la ligne EF, on ote la ligne BF, ou que de 17 l'on ôte 7. il restera O pour pour la ligne BE,ou pour fon égale BC. Ainfi les deux côtez AB, BC, feront connus.