༡༠.

PROPOSITION VII.

Les grandeurs font entr'elles comme font leurs équimultiples entr'elles, etant prifes comme elles Je répondent.

Bx. Cx:: B. C, ou Bx. B; Cx. C; c'eft *5..54. ce qui a été prouvé *.

Les autres Propofitions du cinquiéme Livre d'Euclide, font dans les endroits qui leur conviennent,

SECTION IV.

Des raifons compofées, & de leurs
Propriétés.

AVERTISSEMENT.

Lorfque l'expofant d'une raison eft fimple L'on doit dire de cette raifon qu'elle eft fimple; & qu'elle eft compofée, fi fon expofant eft fait de l'Addition ou de la Multiplication de deux ou de plufieurs autres expofans. Par exemple, l'expofant de la raifon de A à B foit 5. fi on confidere que ce nombre peut être fait de l'addition de 2

?

de 3 expofans de la raifon double, & de la raifon triple, on pourroit dire que la raifon de A à B eft compofée. Si l'expofant de cette raifon de A à B étoit fix nombre qui eft fait de deux multiplié par trois; c'eft pour lors qu'on doit dire que cette raison eft compofée, fçavoir de ces deux expofans 2 & 3 multipliés l'un par T'autre. Car Pufage veut que par une raison compofée on n'entende qu'une raifon dont l'expofant eft fait non par l'addition, mais feule

ment par la multiplication de deux ou de plufieurs

expofans.

DEFINITION S.

DEFINITION

I.

Les raifons compofées font celles dont les expo- 75 fans font faits de la multiplication de deux ou plufieurs expofans.

Soit la raifon de A à B dont x eft l'expofant, & que x = y; alors cette raison de A à B eft dite compofée des deux raifons, dont z & y font les expofans.

DEFINITION

II.

Une raifon compofée de deux raisons égales, 721 s'appelle Doublée.

Si l'expofant de la raison de A à B eft fait de z multiplié par z, c'est-à-dire, fi zz eft l'expofant de cette raison, elle est doublée.

COROLLAIRE.

Ainfi une raison qui a pour fon exposant un 73 quarré, est une raifon doublée

Soit zz ou z, l'expofant de la raison de A à B. Il est fait de z multiplié par z, ainfi de deux expofans égaux: il eft donc l'expofant d'une raifon doublée.

DEFINITION

III.

One rarfon compofée de trois raifons égales, fe 74 nomme Triplée.

COROLLAIR E.

Ainfi une raison qui a pour fon exposant un 75. cube, eft une raifon Triplée.

Si le cube de z z z, ou z3 eft l'expofant de la raifon de A à B, cette raison eft triplée; car fan

76,

*5. n. 43

77:

expofant eft fait de la multiplication de ces trois grandeurs égales z, z, Z.

THE ORE-ME

I.

Plufieurs grandeurs étant de fuite, la raison de la premiere à la derniere eft compofée des raifons de toutes les grandeurs qui font entre les deux extrêmes.

Soient ces grandeurs A, B, C, D, E, F,&c. Il faut démontrer que la raifon de A à Cest compofée de celles de A à B, & de B à C. Soit x l'expofant de A à B, donc A x = B* ; celui de Bà C eft z: donc par la même raison B z, ou A x z C. Ainfi je puis changer les trois grandeurs A, B, C en celle-ci, A, Ax, Axz. Je divife Axz par A, le quotient de la divifion fera xz expofant de la raifon de A à Axz,lequel eft fait des expofans de ces raisons multipliés l'un par l'autre, partant par la premiere définition, la raifon de A à C eft composée de celle de A à B, & de celle de B à C. Par cette méthode je puis démontrer que la raifon de A à F eft compofée de toutes les raifons des grandeurs interpofées.

THEOREME II.

La raifon de deux plans eft compofée des raiJons qu'ont les côtez de l'un aux côtés de l'autre de la largeur à la largeur, de la longueur à la longueur.

Soient ces deux plans ab & cd. Il faut démontrer que leur raifon eft compofée de celle de

a àc & de bà d. Soit z expofant de la raison de a à c: donc * azc. Soit x celui de båd, *5.8. 43. alors b x=d, & a z b x = c d. Divifant azbx par a b, le quotient fera zx composé dé z & de * expofans des raifons de a à c,& de bà d'? donc ces deux plans font en raifon compofée de celles de a à c & de bà d, c'eft-à-dire, de leurs côtés: ce qu'il falloit démontrer.

AVERTISSEMENT.

Il faut fe fouvenir qu'on fuppofe toujours ici, que tous les Plans & les Solides font rectangles; ainfi qu'on la fait remarquer ci-devant. THE ORE ME III.

La raison d'un folde à un autre folide, eft 78. compofée de la raison qu'ont les trois côtés de l'un aux autres trois côtés de l'autre.

Soient deux Solides a b c & d e f. Il faut démontrer que leur raifon eft compofée de ces a b c

fait des trois expo fans des raisons, dont il eft queftion de prouver que la raifon de ces deux folides eft compofée. Partant felon la premiere Définition, ces deux folides font entr'eux en raifon compofée de celles de leurs côtés.

THEOREME IV. Lorfque quatre grandeurs font proportionnel 79. les, le produit des antécédens eft à celui des conféquens en raifon doublée de celles de chaque antécédent à fon conféquent, ou comme les quarrés de chaque antécédent au quarré de fon conféquent.

*3.8.72.

80.

Soit a. b:: c.d; le produit a c des antécédens, felon la Propofition précédente, eft à b d celui des conféquens en raison compofée de celles de a ab & de c à d, qui étant égales, cette raison eft doublée *. Le quarré aa de l'antécédent a eft à bb, quarré du conféquent b, en raifon compofée des raifons de aà b & de a à b; & par conféquent doublée de ces deux raisons. Or ces raifons font les mêmes que ces deux raifons de a à b & de c à d. Par conféquent le produit ac eft au produit bd, comme le quarré a a eft au quarré bb.

COROLLAIRE.

Les plans femblables, c'eft à-dire, dont les côtés font proportionnels, font entr'eux en raison doublée de celles des côtés de l'un aux côtés de l'autre.

Leur raifon eft compofée de celles des côtés *5.n.77. de l'un, aux côtés de l'autre *. Ces deux raisons *3.7.72. font égales. C'eft donc une raison doublée*.

Ainfi tous les quarrés étant des plans femblables font en raison doublée de celles de leurs côtés.

THEOREM E.

V.

Lorfque fix grandeurs font proportionnelles, le produit des trois antécédens eft à celui des trois conféquens en raison triplée de chaque antécédent à fon conféquent, ou comme le cube de chaque antécédent au cube de fon conféquent.

Soient a. b. c:: d. e. f, le produit abc eft au produit de f, en raifon composée de celles 3.n.78. de a à d, de b à e,& dec à f*. Or ces trois raifons font égales. Cette raifon composée est donc triplée *. La raison de a a a cube de a eft à ddd cube de d en raifon triplée de celle de a à d. Or

*s.n.74.