SECTION III. Où l'on explique la maniere de réfoudre entierement les Problemes fimples ou du premier dégré, & l'on en apporte plufieurs exemples. PROBLEME II. 9. A PRE'S avoir réduit un Problème en autant d'équations qu'on a pris d'inconnues; trouver la valeur connue de toutes les inconnues, c'est-à-dire trouver la réfolution du Problème. 1o. Ο Premiere maniere. N écrira toutes les équations du Problême qui expriment tous les raports connus qui font entre les inconnues & les connues, & on les nommera les premieres équations. 2o. On en prendra une, qu'on écrira à part, l'on prendra la valeur de l'une des inconnues qu'elle contient, & l'on substituera cette valeur à fa place dans toutes celles des premieres équations où fe trouve cette inconnue, excepté celle où on l'a dégagée; après quoi cette inconnue ne fe trouvera plus dans les équations où fa valeur a été substituée; on écrira toutes ces nouvelles équations, & l'on y ajoutera celles des premieres équations où l'inconnue qu'on a ôtée, n'étoit point, s'il s'en trouve quelqu'une, & on les nommera les fecondes équations. 3°. On prendra une de ces équations, que l'on écrira avec celle qu'on a déja mise à part, on prendra la valeur de l'une des inconnues qu'elle contient, & on la fubftituera à sa place dans toutes celles des fecondes équations où se trouve certe inconnue; ce qui donnera de nouvelles équations où cette inconnue ne fe trouve plus. On les écrira, & l'on y ajoutera celles des fecondes équations où ne fe trouvoit pas cette inconnue, & on les nommera les troifiémes équations, fur lefquelles on operera comme l'on a fait fur les équations précedentes, & l'on continuera l'operation jufqu'à ce qu'on trouve une équation où il n'y ait qu'une feule inconnue. 4o. On prendra la valeur de l'inconnue de cette équation, & on la substituera dans celle des équations miles à part, où il n'y a que cette inconnue & une autre, & il n'y reftera que cette autre inconnue, dont on prendra la valeur, qu'on fubftituera dans une des équations mifes à part où il n'y a que cette inconnue avec une autre. En continuant d'operer de cette maniere, on trouvera les valeurs connues de toutes les inconnues, & l'on aura la résolution du Problême. Seconde maniere. 1o. APR E's avoir écrit les premieres équations, on pren dra toutes les valeurs d'une même inconnue dans toutes celles des premieres équations où elle fe trouve, & l'on en écrira une à part. 2o. On comparera toutes ces valeurs les unes avec les autres; ce qui donnera de nouvelles équations, qu'on écrira, & l'on y ajoutera celles des premieres où n'étoit point cette inconnue, s'il s'en trouve, & l'on aura les fecondes équations. 3o. On operera fur celles-ci comme on a fait fur les premieres, & l'on continuera jufqu'à ce qu'on foit arrivé à une équation où il n'y ait qu'une inconnue. 4°. On en prendra la valeur, & on la fubftituera dans celles des équations mifes à part où elle se trouve avec une seule autre inconnue, & l'on continuera, comme dans la méthode précedente, jufqu'à ce qu'on ait les valeurs connues de toutes les inconnues. REMARQUE. LORSQU'ON a trouvé la valeur toute connue d'une feule inconnue, fi l'on n'avoit pas mis à part les équations dont on a parlé, on trouveroit neanmoins la valeur de toutes les inconnues en fubftituant la valeur toute connue dans une des équations où il n'y a que l'inconnue qui a cette valeur avec une feconde inconnue, & après la fubftitution on prendroit la valeur toute connue de la feconde inconnue, & on la substitueroit avec la valeur de la premiere inconnue dans une des équations où il n'y a que les deux premieres inconnues avec une troifiéme; & en continuant cette operation, on trouveroit les valeurs connues de toutes les inconnues. Troifiéme maniere qui fert à abreger les operations IL arrive quelquefois qu'on trouve tout d'un coup la valeur toute connue de chacune des inconnues du Problême, en ajoutant ensemble deux ou plufieurs des valeurs d'une même inconnue prifes dans les premieres équations, ou bien en les retranchant les unes des autres. Il faut feulement obferver de joindre ensemble les valeurs d'une même inconnue qui forment une équation où les autres inconnues se détruisent par des fignes contraires, ou toutes, ou la plûpart, comme on le verra dans l'exemple fuivant, auquel on appliquera ces trois méthodes. Application de la premiere méthode à un exemple. ON fuppofe qu'en réduifant un Problême en équations, on a trouvé les quatre fuivantes. 2o. On prendra la valeur d'une inconnue, par exemple de v, dans laquelle on voudra de ces équations comme dans 2 la premiere, & l'on trouvera *v=z—x-y+a, qu'on écrira à part, & l'on fubftituera cette valeur dans les autres. équations à la place de v, & l'on aura les fecondes équations où v ne fe trouvera plus. Secondes équations abregées. 22—2y+a=b. 27-2x+a=6 2x+2y=a+d. 3o. On prendra la valeur d'une inconnue de ces fecondes *2 équations, comme de z, & l'on trouvera *2= 2y — a+b 3. on l'écrira dans l'ordre des équations mifes à part, & l'on fubftituera cette valeur dans celles des fecondes équations où se trouvez, c'est-à-dire dans la feconde, & l'on aura la premiere des troifiémes équations, & y ajoutant l'équation 2x+2y=a+d, les troifiémes équations feront les deux fuivantes. Troifiémes 1 Troifiémes équations abregées. 4o. On prendra la valeur d'une inconnue de ces troifiémes équations, comme de y, & l'on trouvera 2y=2x — b +c. On écrira cette équation dans l'ordre des équations mises à part, & l'on fubftituera la valeur de 2y dans l'équa tion 2x+2y=a+d, & l'on trouvera 4x=a+b-c+d. Comme l'on eft arrivé à une équation qui ne contient qu'une feule inconnue x, on la dégagera, & l'on trouvera a+b-c+d 4 On fubftituera la valeur connue de x dans l'équation mise à part 2y=2x-b+c, qui n'a d'inconnues que y & x, & l'on trouvera 2y= a+b=c= b + c = a-bed & en divifant chaque membre de 2y=b+c+d par 2, l'on aura y = a-b+c+d 2 On substituera cette valeur de y dans l'équation mise à part 22=2ya+b, & après avoir abregé l'équation qui en viendra, & dégagé l'inconnue z, on trouvera za+b+c+d Enfin on substituera les valeurs connues de x, y, z, dans l'équation mife à part v=z-x-y+a, & après avoir abregé l'équation qui en viendra, & dégagé l'inconnue v, on trouvera v= a+b+c=d. Le Problême est entierement réfolu, & l'on a toutes les valeurs connues des grandeurs inconnues, x = a+b=c+d y = a=b+c+d. 2 = -a+b+c+d. q = a+b+c=d. 4 Application de la feconde méthode au mème exemple. 1o. On prendra dans les premieres équations toutes les valeurs d'une même inconnue, comme de v, & l'on en mettra une à part. Ces valeurs font, v=z―x—y+a. v=y—x―z+b. v=x-y −2+c. v=x+y+z―d. — ¢. 2o. On comparera ces valeurs égales les unes avec les autres, & l'on aura les fecondes équations. Tome 1. C Secondes équations abregées. 22—2y=b—a: 22-2x=c-a. 2x + 2y = a + d. Les autres équations qu'on pourroit faire des quatre valeurs de v, font inutiles, ces trois équations contenant toutes les inconnues du Problême excepté v, & toutes les connues. 3o. L'on prendra dans les secondes équations toutes les valeurs d'une même inconnue comme de z, & l'on aura, 22=2y+b— a. ༢., 2༢=2* ¢ -a. Troifiémes équations abregées. 40. On dégagera l'inconnue x dans ces troifiémes équa tions, & l'on aura 2x = 2y+b-c. 2x 2x, & l'on ·2y+a+d. On en écrira une dans l'ordre des équations mifes à part, & on fera une équation de ces deux valeurs de aura l'équation 4y=a—b+c+d, où il n'y a que la feule inconnue y, en divisant chaque membre par 4, l'on aura y= a=b+c+d Enfin on fubftituera la valeur de y dans les équations mises à part, & l'on trouvera la valeur de x, & avec ces deux valeurs, celle de z; & enfin celle de v, qui font, x = a+b=c+d. %== a+b+c+d. q = a+b+c=d Application de la troifième méthode au mème exemple. Equations du Problème. v+x+y=z+a. v+x+z=y+b. v+y+2=x+c. x+y+2=v+d. |