équations fimples, ou du premier degré, ou lineaires, font celles où l'inconnue eft au premier degré, ainfi x — a

o eft du premier degré. Les équations du fecond degré font celles où la plus haute puiffance de l'inconnue eft élevée au quarré, xx — ax + ab —o, eft une équation du fecond degré.

Les équations du 3o, du 4e, du 5e degré, &c. font celles où la plus haute puiffance de l'inconnue eft une 3e, ou une 4o, ou une 5o puissance, &c.

I V.

La plus haute puiffance de l'inconnue, & toutes les autres puiffances dans les termes fuivans, peuvent être les puiffances exactes du moindre degré de l'inconnue qui eft dans le penultiéme terme; par exemple, dans l'équation x-—ax* + abxx — aabc —, en regardant le moindre degré de l'inconnue dans le penultiéme terme qui eft xx, comme lineaire, xest sa troifiéme puiffance, x* est sa seconde puiffance. Dans ce cas le degré de l'équation eft celui de la plus haute puiffance du moindre degré xx de l'inconnue, ainfi l'équation x-ax2 + abxx — aabc-o, n'eft que du troifiéme degré, parceque x n'eft que la troifiéme puiffance du moindre degré xx de l'inconnue.

6

Ainfi x2-aax2+aabo, eft une équation du fecond degré, parceque x2 est le quarré de xo.

De même 3 —aax2+aabxP — a3bP — =0, eft du troifiéme degré, parceque x' eft le cube, & le quarré de x. Mais x-ax+ab cxx— a2bcc=o, eft du fixiéme degré, parceque les puiffances exactes du moindre degré xx, ne font pas de fuite.

COROLLAIRE.

LORSQU'IL ne manque

ne manque aucun terme dans une équation, il y a autant de termes plus un, que l'équation a de degrez; ainfi il y a deux termes dans une équation du premier degré, il y en a trois dans une équation du fecond degré ; ; quatre dans une équation du troifiéme degré, &c.

Car tous les degrez de l'inconnue font autant de termes que la plus haute puiffance de l'inconnue a de degrez, & les grandeurs toutes connues en font une autre qui eft le dernier terme.

DEFINITION V.

SI 17. tous les termes d'une équation ont chacun le même nombre de dimenfions, on dit qu'ils font homogenes ; ainsi tous les termes de x*— ax2 + abxx — a'cx+a3d—o, font homogenes, parceque chaque terme eft de quatre dimenfions: mais les termes de x*— ax3+bxx -cx+d=o, ne font pas homogenes ; & l'on dit alors que la loi des homogenes n'eft pas obfervée.

Cette loi des homogenes doit être obfervée autant qu'il eft poffible dans les équations des Problêmes de Geometrie, parcequ'on ne compare pas, par exemple, des grandeurs planes ou de deux dimensions, quand elles expriment des furfaces, avec des grandeurs folides ou de trois dimensions, lorfqu'elles expriment des figures folides.

REMARQUE I.

CEPENDANT lorsque les produits qui font les termes des équations, n'expriment que des lignes dont les raports compofez avec l'unité ou avec d'autres lignes, font exprimez par le produit de plufieurs grandeurs, l'on peut comparer des raports plus compofez entre des lignes, avec des raports moins compofez,& même fimples, entre d'autres lignes;ainfi l'on peut comparer enfemble des grandeurs de differentes dimensions, & où la loi des homogenes n'eft pas observée.

On peut auffi dans ce cas conferver toujours, fi l'on veut, la loi des homogenes, en concevant les moindres produits multipliez par l'unité autant de fois qu'il le faut, pour les rendre homogenes avec les produits d'un plus grand nombre de dimensions; ainfi on rendra + bxx homogene avec

ax3 en écrivant + 1xbxx. De même on pourra écrire -IXIXcx,&IxIxIxd, pour rendre les termes—cx+d, homogenes avec les autres.

On verra dans la Geometrie les moyens de rendre homogenes tous les termes d'une équation, en confervant leur même valeur.

REMARQUE II.

UN des grands avantages de l'Analyfe eft de ne pas partager inutilement l'efprit; c'eft pourquoi elle réduit les

Problêmes les plus compofez à des expreffions fi fimples,
que toute l'attention de l'efprit n'eft qu'aux grandeurs in-
connues qu'il cherche: ainfi pour empêcher que
les gran-
deurs connues fur lefquelles il ne reste plus rien à découvrir,
ne partagent l'attention, on exprime par une feule lettre
toutes les grandeurs connues d'un même terme.
Par exemple, on abregera l'équation

axx + abx abc

b +ac.

--

=0,

En fuppofant toutes les grandeurs connues—a—b—c du fecond terme égales à une feule lettre -n; en fuppofant toutes les grandeurs connues + ab + ac + bc du troifiéme terme égales à une feule lettre +p; & toutes les connues -abc du quatriéme terme à une feule lettre-q, l'on aura ― nxx + px — q=0, au lieu de l'équation propofée.

x

L'on voit bien que la loi des homogenes n'eft pas moins obfervée dans cette expreffion fimple, que dans l'expreffion compofée, parceque la lettre p, par exemple, eft dans le troifiéme terme à la place d'une grandeur connue de deux dimenfions, & q dans le quatrieme à la place d'une grandeur connue de trois dimenfions.

UN E équation ainfi abregée s'appelle une formule, c'est-àdire une expreffion generale & abregée de toutes les équations du même degré, qui auroient le même nombre de termes, & la même diverfité dans leurs fignes,

COROLLAIRE I.

18. TOUTE la diverfité des équations d'un même degré ne pouvant venir que de ces deux chofes : 1. de ce qu'il manque quelques termes dans les unes qui ne manquent pas dans les autres; 2. de la diverfité des fignes+&-qui précedent les termes, on peut réduire toutes les équations d'un même degré à un nombre déterminé de formules,

Par exemple, en fuppofant que le premier terme a toujours le figne, toutes les équations du second degré se peuvent réduire aux fuivantes,

xx-po. xx+p=0. xx nx + p = o. xxnx +p=0, xxnx — p = 0, xxnx → 0,

TT

37

Dans ces équations n marque la quantité connue du fecond terme, & pla quantité connue du troifiéme.

L'avantage de ces formules eft que leur réfolution donnera la réfolution de toutes les équations particulieres du second degré, en mettant dans la réfolution à la place de n & de p, les grandeurs connues du fecond & du troifiéme terme des équations particulieres.

On peut de même réduire les équations du troifiéme degré, du quatrième, &c. à un nombre déterminé de formules.

ON peut même réduire toutes les équations d'un même degré à une feule formule, pour abreger tous les cas; par exemple, la feule formule xxnx+p=0, peut représenter toutes les équations du fecond degré, x2+nxx+px±q =。 peut représenter toutes les équations du troifiéme degré, & x++nx3±pxx+qx+r=o, toutes celles du quatrième degré, & ainfi des autres ; & cela, en fuppofant deux chofes, 1°. que quelques termes de la formule font nuls ou égaux à zero, lorfqu'elle repréfente les équations où il manque des termes; 2°. Que quand quelques termes des `équations ont+, & les autres, il faut donner aux termes de la formule qui leur répondent, les mêmes fignes.

—

Par exemple, afin que la formule x2+nxx+px+q=0 repréfente l'équation x3- abx+abco, il faut, 10. fuppofer dans la formule, le fecond terme+nxx=0. 20. Il faut fuppofer que px dans la formule a le figne-, & q le figne+: il en eft de même des autres.

Enfin on peut fe fervir d'une feule formule pour chaque degré où tous les termes ayent le figne+; par exemple xx +nx+p=0, sera la formule generale du second degré, x2+-nxx+px+9=0, celle du troifiéme, & ainfi des autres: En fuppofant ces deux chofes, 1°. que lorfqu'elle repréfente des équations où il manque des termes, ces mêmes termes font nuls ou égaux à zero dans la formule. 2°. Que le figne+ de chaque terme de la formule repréfente le figne + ou — du même terme de chaque équation particuliere du même degré, felon qu'il se trouve dans chaque équation.

Ainfi x2+nxx+px+4=0,représente l'équation particuliere x3- abx-abco, en fuppofant, 1°. le fecond terme de la formule+nxx=0,& 2°. que les fignes + devant+px+q, représentent les fignes — qui font devant - abx- abc.

-

Et dans la formule que donnera la résolution de x2+nxx +px+q=0, on fuppofera les grandeurs où fera n, égales à zero, & on donnera aux grandeurs où feront p & q, des fignes oppofez; mais on laiffera les fignes+ devant les puiffances paires de p & de q, & on les changera devant leurs puiffances impaires.

Après cela il ne faudra plus que fubftituer dans la formule de la réfolution de x3 →nxx+px+q=o, les grandeurs de l'équation particuliere, à la place den, p, q, qui les représentent dans la formule generale.

Cette maniere abrege les cas, & rend les résolutions generales, comme on le verra dans le cinquième Livre, où l'on expliquera la résolution particuliere des équations de chaque degré.

Où l'on explique la maniere d'ôter les incommenfurables des équations des Problêmes composez, lorfqu'elles en ont.

AVERTISSEMENT.

LORSQUE l'inconnue de l'équation eft incommensurable, c'eft-à-dire lorfqu'elle eft fous le figne radical, il est neceffaire de la rendre commenfurable pour connoître de quel degré eft l'équation; lorsqu'il n'y a d'incommensurables que les grandeurs connues de l'équation, & que l'inconnue ne l'est pas, on connoît alors de quel degré eft l'équation, fans ôter les incommenfurables, & l'on pourroit réfoudre l'équation fans les ôter; néanmoins comme il eft ordinairement plus facile de réfoudre l'équation, lorfqu'il n'y a point d'incommenfurables, les methodes qui fuivent peuvent fervir à les ôter toutes.