de l'équation; & il faut qu'en faifant ce changement, chaque produit ait toujours fa même valeur, & que cela ne la change point. En faisant ce changement comme on le voit dans l'équation fuivante, on aura exactement la même équation changée, qui ne differe de la précedente que dans la feule expreffion, & les termes de l'équation feront diftinguez par les puiffances y, yy, y', y', y', &c. 3°. Il faut fuppofer chaque terme de cette équation changée égal à zero, ce qui donnera les équations particulieres dont on a befoin pour déterminer les grandeurs indétermi nées g h, i, k, &c. Par la premiere de ces équations ya-ga, on trouvera bby. " n In + a cy n En substituant les valeurs de g, h, i, dans la 4o1⁄2 g"―ly"~1k bey n dy an b'y n =gy+hyy 4°. Il faut fubftituer ces valeurs de g,b,i,k,dans x= ✈ iy3+ky* + ly3 &c. & l'on aura xay+byy+cy'✦dy' &c. C'eft la fuite qui eft la valeur de ay ✦ byy + cy3 + dy* &c. REMARQUES. I. 223. IL faut faire fur le fixieme & le feptiéme exemple les mê mes remarques que l'on a faites fur le cinquiéme exemple, & l'on verrà clairement que la premiere méthode du fecond Problême étant démontrée, les formules generales pour élever deux grandeurs & une fuite infinie de grandeurs à une puiffance quelconque, font auffi démontrées pour tous les cas; c'est-à-dire, on verra clairement qu'on a démontré qu'elles fervent à élever deux grandeurs & une fuite infinie de grandeurs à une puiffance quelconque, quelque nombre qu'en puiffe être l'expofant, foit entier, foit rompu, foit pofitif, foit négatif; & qu'il eft auffi facile d'élever par cette formule deux grandeurs ou une fuite infinie de grandeurs à une puiffance fort élevée, qu'il eft aifé par la méthode ordinaire de les élever au quarré ou à la troisième puissance; & qu'il eft auffi facile d'en extraire la racine quelconque, que d'en extraire la racine quarrée, puifqu'il n'y a qu'à fubftituer dans ces formules generales le nombre entier ou rompu, pofitif ou négatif, qui eft l'expofant de la puiffance qu'on veut trouver, à la place de n qui le repréfente, & les grandeurs dont on cherche la puiffance ou la racine, à la place des grandeurs a, b, c, &c. des formules generales. On verra auffi que quand l'expofant de la puiffance à laquelle on veut élever plufieurs grandeurs, eft un nombre entier pofitif, l'on trouve une fuite finie; mais qu'elle eft infinie dans les trois autres cas, c'est-à-dire, quand l'expofant de la puiffance est un nombre entier négatif, & quand il est un I I. On verra l'ufage de ces formules generales qui fervent à élever deux ou plufieurs grandeurs, ou une fuite de gran-. deurs à une puiffance quelconque, dans les exemples fuivans, & l'on doit avertir ici qu'elles font d'une extrême utilité pour trouver des formules generales qui fervent à décou vrir la résolution des Problêmes les plus compofez. EXEMPLE VIII. POUR trouver la valeur de x dans l'équation xʻ + 6n3y3 O. 2 Sy n 1o. Il faut fuppofer x=ay2+by1++cy2++dy3+}&c. a, b, c, &c. font des grandeurs indéterminées. 2°. Il faut fubftituer dans la propofée les valeurs de x, prifes de cette équation indéterminée, & l'on aura l'équation changée qui fuit. x2 = +ay' + Ga'by* 224. +15a2bby' &c. 25a+ bys &c. - 7nnyyxx = 7nnuay3 — 14nnaby* — 7nnbby3 &c, + 6 n'y' - 14nnacy' +ppy +PPY. 8722+ En fubftituant les valeurs de a, b, dans la 3o 14nnac. — 2 5 aa b + 1 5 a‘bb — 7nnbb, on trouvera c = n n2 647 4o. On substituera ces valeurs de a, b, c, dans x—ay‡ 225. - 3 SPP y + 1 y &c... 64n2 64n2 On peut continuer l'approximation autant qu'on voudra. Application de la premiere méthode du fecond Problème à la réfolution des équations qui contiennent des differences. AVERTISSE ME N. T.. LE fecond Problême sert auffi à la résolution des équations, qui contiennent des differences, & l'on peut, par la pre miere méthode de ce Problême qu'on a expliquée, & par la feconde qu'on expliquera dans la fuite, trouver la valeur approchée à l'infini de laquelle on voudra des inconnues de l'équation, exprimée par une fuite qui n'aura que les puiffances de l'autre inconnue, ou des autres inconnues, s'il en a plufieurs, avec des grandeurs toutes connues. Et com me cela donne la réfolution de plufieurs beaux Problêmes de Geometrie, on va faire l'application de la premiere méthode à plufieurs équations qui contiennent des differences. On fuppofe feulement qu'on fçait le calcul des grandeurs differentielles, qui est expliqué dans la premiere Section de l'Analyfe des Infinimens Petits; & fi on veut l'appliquer aux équations qui contiennent des fecondes differences ou des troifiémes differences, &c. il faut fçavoir le calcul de ces differences fecondes, troifiémes, &c. qui eft expliqué dans Article 65 du même ouvrage.. Préparation des équations qui ont des differences, afin d'y appliquer la méthode du fecond Problème.. 226, SUPPOSANT que les équations differentielles aufquelles on veut appliquer la méthode du fecond Problême, ont les 227. deux inconnues x &y, avec leurs differences, & qu'on cher- = = 2 Vrr dx2 YJdx2 ++ dy? - Xx d yo dy, il faut multiplier chaque membre par 2 Vrr-xx, & enfuite les divifer par dy, & l'on aura l'équation préparée V.rr dx x gr + t — q x V.TT — xx Il en eft de même des autres équations differentielles. POUR EXEMPLE FX. R trouver la valeur de x dans l'équation differentielle 13 + 347 I=0, 1. Il faut fuppofer x = ay by ✦ cy3 + cyˆ +fy3 &c.] d'où l'on déduira en prenant les differences de chaque mem. bre, dx = a + 2by + 3 cyy + 4cy3 + 5fy* &c. dx d 2o. Il faut fubftituer la valeur de 4 dans la propofée, & elle fera changée en l'équation qu'on voit ici. + dy =+a + 2by ✦ 3cyy +4cy3 + 5fy* &c. 3o. Il faut fuppofer chaque terme de cette équation changée égal à zero, ce qui donnera autant d'équations particulieres qu'on a fuppofé de coëficiens indéterminez, lesquelles ferviront à en trouver les valeurs. Par la premiere+a1 = o, on trouvera a I.. Par la feconde + 2by ayα, on trouvera b= Hhh iij |