19. OSTER les incommenfurables d'une équation lorfqu'il y en a. 1o. I Premiere maniere. L faut mettre une des grandeurs incommenfurables feule dans le premier membre, & toutes les autres quantitez dans le fecond, & élever chaque membre à la puiffance marquée par l'expofant du figne radical du premier membre, & la grandeur du premier membre devien dra commenfurable. S'il refte des incommensurables dans le second membre, 20. il faut en mettre une feule dans le premier membre, & toutes les autres quantitez dans le second, & faire fur cette équation l'operation précedente, qui ôtera une feconde incommenfurable. En continuant cette operation, on ôtera toutes les incommenfurables. Lorfqu'il y a plufieurs incommenfurables de différens degrez, on mettra une lettre feule pour chaque incommenfurable; ce qui abregera le calcul, comme on le verra dans les exemples. On abregera encore le calcul, en mettant après chaque operation une lettre à la place de toutes les grandeurs devenues commenfurables, & dans la derniere operation on reftituera les valeurs des lettres qu'on a mifes raffer le calcul. EXEM P LE S. I. pour déba-. POUR ôter les incommenfurables de Vxx=√ax+bb, on élevera chaque membre au quarré, & l'on aura xx=ax+bb, où il n'y a plus d'incommenfurables. I I. Pour ôter les incommenfurables de x+yaax=b, on fera 10. Vaaxb-x. 2°. On élevera chaque membre à la troifiéme puiffance, parceque l'expofant de eft 3, & l'on aura aax= b3. 3bbx + 3bxx — x3, où il n'y a plus d'incommenfurables. III. Pour ôter les incommenfurables de Jaax+√a3x3 — x —c, 1o. il faut élever chaque membre à la troifiéme puiffance & l'on aura aax+√a3x3=x3 ' — 3 cxx + 3 ccx — c3. 2o. Après avoir mis Va'x' feule dans le premier membre, √α x3 = x3 — 3cxx+3ccx· χ 3—3cxx+3ccx — c'— aax, aax, il faut élever chaque membre au quarré, & l'on aura a'x'=x® — 6cx', &c, où il n'y a plus d'incommenfurables. I V. Pour ôter les incommenfurables de x + jaax=√ax, on fuppofera naax, ce qui donne n'=aax, &m=√ax, ce qui donne mmax, & l'on aura x+nm, au lieu de x + Jaax=√ax. m2 + 3mxx, Enfuite on fera par tranfpofition n=m-x, & on élevera chaque membre à la troisième puiffance marquée par l'expofant du figne radical de Jaax=n, & l'on aura n' — m3 — 3mmx+3mxx-x', & par tranfpofition n'+3mmx+x3 où n3+3mmx, &+x3 font commenfurables. Pour débaraffer le calcul,on fuppofera les grandeurs commenfurables n'+3mmx+x3=f, afin de n'avoir attention qu'aux feules incommenfurables m3 +3mxx, & l'on aura m3 +3mxx=f3. On élevera chaque membre au quarré, parceque l'expofant de l'incommenfurable mVax eft 2, & l'on aura m + 6m'xx + 9mmx*=f°, où il n'y a plus d'incommenfurables. Enfin on fubftituera à la place def, m, n, leurs valeurs, & l'on aura a* xx+6a3x3+9aax* + 2aax*+6 ax3 + x°—a3x3+6aax* + 9ax'; & en l'abregeant on aura x —3ax'+5aax*+5a3x3+a*xx=0,ou bien x*-3ax2+5aaxx +5a3x+a*=0, où il n'y a plus d'incommenfurables. 6 Seconde maniere, lorfque l'équation contient plufieurs incommenfurables. 1. IL faut fuppofer une lettre égale à chaque grandeur incommenfurable, ce qui donnera autant d'équations qu'il y a d'incommenfurables. Il faut en ôter les incommenfurables par la premiere maniere, & l'on aura de nouvelles équations où les puiffances des lettres fuppofées feront égales à des grandeurs commenfurables; on les appellera les équations commenfurables. 2o. Il faut mettre les mêmes lettres dans l'équation propofée; & après avoir mis dans le premier membre la feule lettre, qu'on a fuppofée égale à l'incommenfurable, dont l'expofant eft le plus grand, on élevera chaque membre de cette équation à la puiffance de cet expofant. Enfin Enfin on fubftituera les valeurs commenfurables des lettres fuppofées à leur place dans l'équation précedente, & ces valeurs feront prifes dans les équations commenfurables; & en continuant les substitutions, on arrivera enfin à une équation où les lettres fuppofées ne feront plus, & qui n'aura plus d'incommenfurables. Par exemple, pour ôter les incommenfurables de x+aax Vax: 1°, je fuppofe naax, & max ; & ôtant les incommenfurables, je trouve n3 = aax, & mm=ax, ce font les équations commenfurables. 20. Je mets n&mdans l'équation propofée x+yaax=Vax, à la place des incommenfurables, & je trouve x+n=m. Je fais par tranfpofition n-m-x, & j'éleve chaque membre à la troifiéme puiffance, parceque l'expofant de Vaax=n, qui eft le plus grand, eft 3, & je trouve' n3—m3 ·3mmx+3mxx - x3. 3°. Je fubftitue dans cette équation les valeurs commenfurables de n' & de mm, prifes dans les équations commenfurables, & je trouve aax=m3 —zaxx +3mxx — x3. Pour fubftituer la valeur de m3 dans cette équation, je multiplie chaque membre de mmax par m,&j'ai m'—amx; & je fubftitue amx à la place de m' dans aax = m3 +3mxx -3axx-x3, & je trouve aax amx+3mxx-3аxx —x3, ou bien aaam+3mx —zax-xx ; je mets par tranfpofition les quantitez où eft m dans le premier membre, & les autres dans le fecond, & j'ai am +3mx=3ax+aa+xx; divifant le tout par a+3x, je trouve m = Pour fubftituer la valeur commenfurable de m dans cette équation, j'éleve chaque membre à la feconde puiffance, parceque l'expofant de vax & je trouve mm = m eft 23 9aaxx +6a3x+a3 + 6ax3 + zaaxx+x* ̧. aa+6ax+ 9xx Zar + aa + xx Je fubftitue dans cette équation la valeur de mm prise: dans l'équation mmax, & je trouve ax= 9axxx+6a3x+a2 +6ax3 → 2aaxx+x aa+6ax + 9xx En réduifant chaque membre au même dénominateur, que j'efface enfuite, & en abregeant & ordonnant l'équation, je trouve x*—zax3+ 5aaxx+5a3x+a* = o, où il n'y a plus d'incommenfurables. Ce qui étoit propole. Tome I. F DE'MONSTRATION. IL eft évident que par les operations de ces deux méthodes du Problême, on ôte les incommenfurables les unes après les autres, & que l'égalité fe conserve toujours. Où l'on explique la maniere de trouver le plus grand diviseur commun de deux ou de plusieurs équations compofées qui ont la même inconnue. AVERTISSEMENT. IL eft très-utile pour la réfolution des équations compoTées, de pouvoir trouver le plus grand divifeur commun de celles qui ont la même inconnue; & cela fert auffi quand on a plus de raports d'un Probléme que d'inconnues, à former l'équation la plus fimple qui en donne la résolution. A PROBLEME IV. 20. TROUVER le plus grand divifcur commun des deux équations qui ont la même inconnue, 1o. S I toutes les quantitez de chaque équation étoient multipliées par une grandeur commune, on les diviferoit toutes par cette grandeur commune, & il faudroit enfuite chercher le plus grand divifeur commun des deux quotiens; & après l'avoir trouvé, le multiplier par cette grandeur commune, & le produit feroit le plus grand divifeur commun qu'on cherchoit. 2o. Si toutes les quantitez d'une feule des deux équations, & fur-tout de celle qui fervira de diviseur, étoient multipliées par une même grandeur, il faudroit les divifer par cette grandeur, qui ne doit point entrer dans le commun divifeur, & operer enfuite avec le quotient. Ces chofes fuppofées. Premiere maniere, 1. APRE's avoir nommé la premiere équation celle du degré plus élevé, & l'autre la feconde, (fi elles font du même degré, on nommera laquelle on voudra la premiere, & l'autre la feconde,) il faut divifer la premiere par la feconde ; & fi la division se fait juste, la feconde est le plus grand diviseur commun. Si la divifion ne peut fe faire exactement, lorfqu'on fera arrivé à un reste où l'inconnue a moins de degrez que dans la feconde équation, fans avoir égard au quotient, on divifera la feconde par le refte, qu'on nommera premier refte. Si la divifion se fait exactement, le premier refte eft le plus grand divifeur commun. Mais fi elle n'est pas exacte, & qu'elle donne un refte, on divifera le premier refte par ce fecond refte; & fi cette divifion donne un troifiéme refte, on divisera le second reste par le troifiéme, & on continuera jufqu'à ce qu'on ait trouvé un refte qui foit un diviseur exacte du précedent, & ce reste fera le plus grand divifeur commun. 2. Quand en faisant les divifions de cette methode, on trouve une fraction pour quotient, il faut dans ce cas multiplier la grandeur à divifer par la grandeur connue, qui est le coeficient du premier terme du divifeur, ou par le dénominateur de la fraction trouvée pour quotient; & la grandeur à divifer étant ainfi préparée, la divifion donnera pour quotient une grandeur entiere. O. x10 EXEMPLE I. POUR R trouver le plus grand divifeur commun des deux équationsx" — 13x1o +65x8 — 157x6 +189x* — 105xx+21 — 12x2+ 54x6 — 112x2 + 105xx — 35=0. Je remarque qu'il n'y a aucune grandeur commune qui multiplie toutes les quantitez de chacune de ces deux équations, ni aucune grandeur commune qui multiplie tous les termes de la feconde, ainfi j'opere immédiatement fur ces deux équations. Je divife la premiere par la feconde, & je trouve le quo tient xx-1, que je néglige, & le refte — x8 +9x6 — 28x+ +35xx — 14, qui ne peut plus être divifé la feconde équation, puifque -x3 eft moindre que x1o. par Je divife la feconde équation x1- 12x8 + 54x6 — 112x+ +105.xx—35—o, par ce premier refte-x+9x6 — 28x4 + 35xx — 14, & je trouve le quotient-xx+3, que je néglige, & le refte x°+7x* — 14xx+7• |