Car, 1°. fi l'on multiplie les deux équations fimples xa &x+b=0, leur produit xx+ax +ab = 0. <=0, + bx, donnera la re formule, en fuppofant a+b=n, & ab=p. 20. Si l'on multiplie les deux équations fimples x+a=0, & x—b=o, leur produit xx+ax—ab=0. -bx, donnera la feconde formule, en fuppofant, 10. a plus grand que b, & 20. a—b=n, &—ab — — p. = 39. Si on multiplie xao, par x — -bo, leur produit xx — ax+abo. donnera la troifiéme formule, en bx, fuppofant-a-b— 11 n, &+ab =+1. 40. Si on multiplie x-a=0, par x+bo, leur produit xx— ax― ab―o. donnera la quatriéme formule, en fup+ bx, pofant, 10. a plus grand que 6, & 2o. —a+b——n,&—ab -p. 5o. Si on multiplie xao, par x-a-o, leur produit xx-aa―o, donnera la cinquième formule, en fuppofant -p. 60. Enfin fi on multiplie x+V―aa=0, par x-√— aa o, leur produit xx aao, donnera la fixiéme formule, en fuppofant +aa+p; par confequent toutes les équations du fecond degré peuvent être conçues formées par le produit de deux équations fimples. Demonftration pour les équations du troifiéme degré. TOUTES les équations du 3° degré peuvent être raportées à ces quatre formules pour abreger. 3 3 Premiere, x2+nxx+px±q=0. Seconde, ×3 +px+q=0. Troisième, x'+nxx +q=0. Quatrième, x3 * Or toutes les équations reprefentées par ces quatre formules, peuvent être conçues formées par la multiplication de trois équations fimples. Car 10. filon multiplie les trois équations fimples x+a=0. x+6=0,x+c=o, leur produit x2+axx+abx+abc=0, + bxx+acx +cxx+bcx, donnera la premiere formule, en fuppofant+a+b+c =+n, +ab+ ac+bc= :+p, ±abc= 2o. Si l'on fuppofe que la racine de l'une des trois équations fimples, par exemple c dans la troifiéme x+c=0, est égale à la fomme des deux autres a+b, & qu'elle a un figne oppofé au leur, c'est-à-dire que c eft négative, fi a & b font pofitives; & que c eft pofitive, fi a & b font négatives, on aura la feconde formule, en fuppofant les grandeurs connues du troifiéme terme du produit des trois équations fimples, égales à +p, & la grandeur connue du quatrième terme du produit des trois équations fimples, égale à + q ; & -c=a+b, ou de cab, le fecond terme fera détruit par des fignes contraires, à caufe de 3°. Si l'on fuppofe la même racine cavec un figne contraire à ceux des deux autres a & b, mais qu'elle leur foit inégale, on aura la troifiéme formule, en fuppofant les produits ac, bc, avec des fignes contraires à celui de ab, égaux enfemble à ab, & en fuppofant toujours les coeficients du deuxième & quatriéme terme du produit des trois équations fimples, égaux à ceux du deuxièmé & quatriéme terme de la troifiéme formule. 4°. Si on multiplie les trois équations fimples x + 1⁄2 a leur produit x-a o, donnera la quatrième formule x3—q o, en fuppofant a'q. 3 2 leur Et fi on multiplie les trois équations fimples x- a +v +V— 2 aa=0, x——a—√ — aa a — √ — 1 aa—0,x+a=0, produit xao, donnera la quatrième formule x'+q o, en fuppofant a' Par confequent toutes les équations du troifiéme degré peuvent être conçues comme formées par trois équations fimples, REMARQUE. 25. ON peut auffi concevoir toutes les équations du troifiéme degré comme formées par la multiplication d'une équation du fecond degré, & d'une équation fimple. Car, 10. fi on multiplie xx+x+m=o, par x+c=0, le produit xlxx + mx + cm =o, donnera la premiere + +clx, CXX formule, en fuppofant +/+c=+n, ±m±d=±1, cm = it q 2o. Si on multiplie xxlx+mo, par xlo, le produit xmx+lm= o, donnera la feconde formule, llx, en fuppofant+m—ll=±p,& lm=+q. le 3°. Si on multiplie xxlxlmo, par x+m=0, produit xlxx lmm=0, + Immo, donnera la troifiéme formule, 3 +mxx, en fuppofant +/+m=±n,&Flmm=+q. 3 4o. Si on multiplie xxlx+ll=o, par xl=0, le produit x+ =o, donnera la quatrième formule, en fuppofant +9. = -Demonftration pour les équations des autres degrez; ON voit clairement que les équations des autres degrez peuvent être conçues formées par les équations du premier, du fecond & du troifiéme degré, par exemple, celles du quatriéme par une équation du premier, & une du troifiéme, ou par deux équations, chacune du fecond degré ; celles du cinquiéme par une équation du fecond degré, & une du troifiéme, & ainfi des autres: Par confequent toute équation compofée peut être conçue formée par autant d'équations fimples qu'elle a de degréz. REMARQUE. LORSQUE le Problême renferme quelque contradiction, l'équation composée qui l'exprime, peut toujours être conçue comme formée par autant d'équations fimples qu'elle a de degrez; mais les racines de ces équations fimples ne seront pas toutes réelles, & il y en aura d'imaginaires. On en a déja vû des exemples dans la quatrième formule du troifiéme degré, & dans la fixième du fecond degré. COROLLAIRE. 26. UNE équation compofée, dont on n'a point abregé les grandeurs connues, en fuppofant plufieurs de ces grandeurs égales à une feule lettre, peut toujours être divifée exactement par chacune des équations de moindre degré qu'elle n'eft, par la multiplication defquelles elle a été formée ; & lorsqu'une équation d'un moindre degré, est un diviseur exact H iij d'une équation compofée d'un degré plus élevé, cette équation d'un moindre degré eft une de celles dont la compofée a été formée par la multiplication. DEMONSTRATION. la IL eft évident que lorfqu'un produit a été formé par multiplication de plufieurs grandeurs, chacune de ces gran. deurs en eft un divifeur exact: & lorfqu'une grandeur eft un diviseur exact d'un produit, cette grandeur eft une de celles dont la multiplication a formé ce produit; ainfi le Corol laire eft évident. THEOREM E. I I. 27. QUAND la plus haute puiffance de l'inconnue eft multipliée dans le premier terme d'une équation compofée, par une grandeur connue differente de l'unité, on peut bien concevoir cette équation comme formée par le produit d'autant d'équations fimples, qu'elle a de degrez; mais, 1o. ou bien l'inconnue du premier terme eft multipliée par une grandeur connue dans chacune des équations fimples; 2°. ou bien elle l'eft dans quelques-unes, & non dans toutes; 3°, ou bien elle l'eft dans une feule. les CAR en fuppofant, 10. ces équations fimples ax―d=0, o, & les multipliant les unes par les autres, on aura pour le fecond cas l'équation compofée bcx3-&c. 3°. En fuppofant x—d=0,x—e—o,cx-d=o, & les multipliant les unes par les autres, on aura l'équation compofée cx3- &c. On peut auffi concevoir une équation composée, dont le premier terme a un coëficient different de l'unité, comme le produit d'autant d'équations fimples qu'elle a de degrez, dont toutes les racines font des fractions, ou feulement quelques-unes, ou du moins une feule. Car en fuppofant, 1°. x—4—0, x—=0,x bien, 2°. x-d=o, x-t 0,x-f=0; ou bien, 3°. x— fo; après avoir fait la multiplica 0,x=0; ou -d tion dans chacun de ces trois cas, & enfuite ôté les fractions, on aura une équation compofée, dont le premier terme aura un coëficient different de l'unité. COROLLAIRE. 28. SI le premier terme d'une équation compofée a un coëficient different de l'unité, les équations d'un moindre degré qu'elle n'eft, par lefquelles elle peut être exactement divifée, auront toutes ou plufieurs, ou du moins quelqu'une, dans leur premier terme, un coëficient different de l'unité ou bien elles auront toutes, ou plufieurs, ou du moins quel qu'une des fractions pour leurs racines. 29. Du nombre & de la qualité des racines des équations compofees. DEFINITION I I. ES racines des équations fimples dont une équation com tion compofée. Corollaires qu'il faut fe rendre familiers. D'où il fuit, 1°. Qu'une équation compofée a autant de racines, qu'elle a de degrez. 2°. Que les racines d'une équation compofée peuvent être ou toutes réelles, & il y en peut avoir de trois fortes, ou elles feront commenfurables, ou incommenfurables, ou mixtes; ou bien elles feront toutes imaginaires, ou mixtes imaginaires; ou enfin elles feront en partie réelles, & en partie imaginaires.. 3°. Que chaque racine étant exprimée par une feule lettre dans chacune des équations fimples, elles peuvent être ou pofitives, ou négatives, ou en partie pofitives, & en partie négatives. 4°. Que l'on peut, felon les combinaisons differentes des fignes + &- des racines pofitives & négatives, rapporter toutes les équations de chaque degré à un nombre déterminé de formules. Dans le fecond degré, il n'y en peut avoir que de trois fortes; car, ou, 1o. les deux racines feront pofitives; ou, 2o, négatives; ou, 3°. l'une pofitive, & l'autre négative. |