XV Pou AVERTISSEMENT. VR former une notion de l' Analyse aux Lecteurs qui commencent, on leur fera remarquer, que dans tous les Problèmes des Mathematiques il y a des grandeurs inconnues que l'on cherche, des grandeurs connues, & des raports connus entre les grandeurs connues & les inconnues: & que c'est par le moyen de ces raports connus qu'on peut découvrir les grandeurs inconnues que l'on cherche. Ĺ'Analyfe eft la fcience qui contient les méthodes pour découvrir les grandeurs inconnues que l'on cherche. Ces méthodes enfeignent à marquer par les lettres de l'alphabet les grandeurs inconnues & les grandeurs connues; à trouver, par le moyen des raports connus qui font entre les unes & les autres, des équations qui expriment les Problemes que l'on veut résoudre, & enfin à réfoudre ces équations, c'est-à-dire, à faire découvrir les valeurs des lettres qui marquent les grandeurs inconnues que l'on cherche. C'est ainsi que l'Analyfe donne la refolution des Problèmes. Quand les équations, que l'Analyse fait découvrir pour la réfolution des Problèmes, contiennent des lettres qui marquent les inconnues qui ne font point multipliées par elles-mèmes, ni par L'autres lettres qui représentent d'autres inconnues, ces équations s'appellent fimples; & l'Analyfe, par raport à ces équations, s'appelle l'Analyfe fimple. Le premier Livre explique l'Analyse fimple. Quand les lettres des inconnues font multipliées par elles-mêmes ou par d'autres lettres des inconnues dans les équations, on les nomme des équations compofées; & l'Analyse par raport à ces èquations, s'appelle l'Analyfe compofée : Elle eft le fujet des Livres qui fuivent le premier. Quand l'inconnue ne fait qu'un feul terme de l'équation dont tous les autres termes ne contiennent que des grandeurs connues fi elle eft multipliée par elle-mème, l'équation eft composée, & elle fe refout par les méthodes des équations compofées ; mais comme elle fe réfout aussi par une fimple extraction de racines, on peut la regarder comme une équation fimple, qui peut ètre réfolus par Analyfe fimple. que Ceux qui voudront profiter de cet Ouvrage, ne doivent le lire la plume à la main, & faire eux-mêmes les calculs qu'ils y trouveront. Pour l'entendre avec plus de facilité, & pour fe le rendre propre peu à peu fans fe rebuter, ils pourront fe contenter dans une premiere lecture de lire le premier, le fecond & le troifiéme Livre jus qu'à la page 92 art. 44, paffer tout le reste du troifiéme Livre, & tout le quatrieme Livre, & lire la feule premiere Section du cinquiéme Livre. Les connoiffances, qu'ils auront acquifes dans cette premiere lecture, fuffiront à ceux qui fçavent les premiers élemens de la Geometric fimple, pour entendre la premiere & la feconde Section du huitième Livre, où ils verront les ufages des méthodes de l'Analyfe qu'ils auront apprifes, dans le Geometrie fimple, dans l'art de jetter les bombes, & dans les Problèmes qui font découvrir les centres d'ofcillation des pendules compofez pour don ner la juftesse aux horloges. Ils pourront même entendre la troifiéme Section du huitième Livre. Ils y trouveront les ufages de l'Analyfe dans la Geometrie compofee, & en même tems iis fe formeront une idée de cette fcience & de toutes les lignes courbes qui en font l'objet, & ils apprendront les proprietez les plus utiles des courbes les plus fimples, qu'on appelle les Sections coniques. Ces connoiffances les mettront en état d'entendre les Problèmes des articles 498 & 499. Après quoi ils pourront lire la premiere Section de la feconde Partie du huitième Livre, où eft expliqué le calcul differentiel, jufqu'à l'art. 536 ; passer aux art. 549, 550 & 551, pour voir l'ufage de ce calcul dans les Problemes qui font trouver bes tangentes des courbes ; & fans s'arrèter au reste de la feconde Partie du buitiéme Livre, ils pourront lire la premiere Section de la troifiéme Partie où font expliquez les premiers principes du cal cul integral jusqu'à l'art. 666; enfin, pour voir quelques ufages faciles de ce calcul, ils pafferont tout le reste de la troifiéme Partie jufqu'à la derniere Section, dont ils pourront lire les deux premiers Exemples, & paffer à la feconde Partie de la derniere Section: ils verront, dans le premier Exemple Phyfico-mathematique, l'invention des Ovales dont parle Mr Defcartes à la fin du fecond Livre de fa Geometric, dont il n'a pas donné l' Analyfe. Le fecond Exem ple Phyfico-mathematique leur apprendra la refolution generale du Probleme, où il s'agit, après avoir donné à la premiere furface d'un verre tel figure qu'on aura voulu, de trouver la figure qu'il faut donner à la feconde furface du même verre, afin que les rayons qui partent d'un point déterminé, foient difpofez par les refractions qu'ils fouffriront à l'entrée & au fortir de ce verre, à s'aller réunir dans un mème point déterminé. Ils pafferont tout le refte. Les Lecteurs qui commencent, apprendront, par cette premiere Lecture, les premieres méthodes de l'Analyfe; & ils verront les ufages de ces méthodes dans la Geometrie fimple & composée, & dans la réfolution des Problèmes Phyfico-mathematiques, en employant le calcul ordinaire de l'Algebre, le calcul differentiel & le calcul integral. Dans une feconde lecture, fi les chofes qu'ils auront lies dans la premiere ne leur font pas affez familieres, ils liront les trois premiers Livres, la premiere Section du quatrième Livre, la troifiéme jufqu'à l'art 66, & la quatrième Section; la premiere Section du cinquième Livre, la feconde Section jufqu'à l'art. 94, la troisième Section jusqu'à l'art. 104; ils liront enfuite toute la premiere Partie du huitième Livre; les trois premieres Sections de la feconde Partie, excepté l'art. 536. & les fuivans jusqu'à l'art. 542; ils pafferont la quatrième Section, & ils liront dans la troisième Partie la premiere Section jusqu'à l'art. 666, ils pafferont cet article & les fuivans jufqu'à l'art. 714, qu'ils pourront lire avec ce qui reste de la premiere Section; ils ne liront ni la feconde ni la troisième Section, ni le premier Exemple de la quatrième ; mais ils liront le refte de la quatrième Section, & ils pourront entendre les fix Exemples Phyfico - mathematiques qui font à la fin de la cinquième Section. Dans une troifiéme lecture, ils ajouteront à la précedente le fixième & le feptième Livre, excepté la cinquième & la fixième Section du feptième Livre ; & il n'y aura plus rien dans le buitiéme Livre qu'ils ne puiffent entendre ; & ils feront en état de faire le choix des Méthodes de l'Ouvrage qu'ils doivent fe rendre les plus familieres. Pour entendre tout cet Ouvrage, il ne faut fçavoir que les operations de l'Algebre fur les grandeurs litterales, c'est-à-dire, il ne faut fçavoir que le feul calcul& les proportions & les progreffions. Ces chofes font expliquées dans les Traitez d'Algebre, comme dansles Elemens du Pere Preftet, ou dans le Traité de la Grandeur du Pere Lamy; ceux qui ont la Geometrie latine de Mr Descartes, peuvent fe contenter du petit Traité dont le titre eft, Principia Mathefeos univerfalis, qui eft au commencement du fecond Volume. Pour entendre le huitième Livre, il fuffit de fçavoir la Geometrie fimple, c'est-à-dire, ce qui eft contenu dans les fix premiers Livres d'Euclide. On donnera dans la fuite un Traité d'Algebre & une Geometric fimple. Le feul calcul qui n'eft pas expliqué dans les Traitez d Algebre dont on vient de parler, eft celui des expofans des puiffances. On le mettra ici en peu de mots pour la commodité des commengans qui pourront le lire quand ils feront arrivez aux endroits de cet Ouvrage où ils en auront befoin. Lorsqu'une mème grandeur a eft multipliée par elle-mème une fois, deux fois, trois fois, & ainfi de fuite; les produits aa, aaa, aaaa, &c. s'appellent les puiffances de cette grandeur. Pour abreger ces expreffions, l'on écrit au haut de cette grandeur vers la droite en moindre caractere le nombre qui exprime combien de fois chacun des produits contient la lettre a, de cette maniere a2, a3, at, a', &c. ces nombres s'appellent les expofans des puiffances de la grandeur a; ainfi a2 eft la feconde puissance de a, & 2 eft l'expofant de la feconde puissance de a; 3 eft l'expofant de la troisième puiffance; & ainfi des autres: on donne aussi à la grandeur fimple a l'unité pour expofant, de cette forte a; ce qui marque la premiere puissance de a qui n'eft point multipliée par elle-même. Les grandeurs dont les expofans font des nombres entiers, s'appellent des puiffances entieres. Les racines d'une grandeur a fe marquent ordinairement par le figne avec le nombre au-dessus qui marque fe c'est la racine quarrée ou feconde, la racine cubique ou troisième, la quatrième, &c. de cette forte ya, ya, ya, &c. Mais pour les réduire au même calcul que les puiffances entieres, on les marque fans le figne, & l'on écrit, pour leur expofant, une fraction dont le numerateur est l'unité &dont le dénominateur eft le nombre 2 fi c'est la racine feconde ; le nombre 3, quand c'est la racine troisième, &c. de cette forte a3, a3⁄4‚až, a3; &c. Ainfia—ya marque la racine feconde de a; &ainfi des autres. Par le moyen de ces expressions on peut regarder les racines des grandeurs comme des puiffances dont les expofans font des nombres rompus. I La racine quelconque d'une grandeur a2, a', &c. qui cft une puiffance entiere, fe marque en donnant pour expofant à cette grandeur une fraction dont le premier terme eft l'expofant de la puiffance entiere de cette grandeur, & dont le fecond terme eft l'exposant de la racine qu'on veut exprimer. Ainfi la racine feconde de a fe marque 3 7 marque ainfi a31; la racine cinquième de a' se marque ainsi a3. Il en eft de même des autres. m m Pour marquer une puiffance en general, on prend une lettre pour expofant ; ainfi a marque une puissance quelconque ; l'expofant (D) repréfente tel nombre qu'on voudra, foit entier, foit rompu, & on tappelle, à cause de cela, un expofant indéterminé. On peut aussi marquer une puissance en general, dont l'exposant est une fraction, de cette maniere a3, ce qui fignifie a, c'est-à-dire la racine quel conque représentée par (n) de la grandeur a. De mème a marque la racine quelconque, repréfentée par l'indéterminéen, de a élevée à la puiffance entiere dont l'expofant, quelque nombre entier qu'il puiffe ètre, eft représenté par l'indéterminée m. Ces expofans indéterminez fervent à trouver des réfolutions generales qui conviennent à toutes les grandeurs particulieres dont les puissances peuvent avoir pour expofans quelque nombre que ce puiffe ètres tous ces expofans particuliers pouvant être représentez par l'expofant indéterminé. Ces chofes fuppofees, voici le calcul des puiffances par le moyen de leurs expofans. LE CALCUL DES PUISSANCES DES GRANDEURS par le moyen de leurs expofans. OUR multiplier deux puissances d'une grandeur, il ne faut qu'ajouter les deux expofans de ces puiffances, & écrire la fomme des expofans pour l'exposant du produit. Pour divifer une puissance d'une grandeur par une autre puiffance de la mème grandeur, il ne faut qu'oter l'expofant du divifeur de l'expofant de la puiffance à divifer, & écrire la difference des expofans pour l'expofant du quotient. le Pour multiplier a par a3, il faut écrire a2+ 3 ou a pour le produit. Pour multiplier a2 par a1, il faut écrire a11 ou a3 pour produit. Pour multiplier a par a2, il faut écrire pour le prođuit 3+ aa. Pour multiplier a par a3, il faut écrire pour le produit a i*4 —a 4. De même le produit de x" par xTM est xTM+ˆ; a. x' až +2 + celui de x S par x'est x" I de x" par x = eft x parx Tome I. |