3

a2

S

3

-2

Pour divifer a' par a2, il faut écrire pour le quotient a3—'—a2; de même le quotient de a* par a'est a11—a1; celui de a' divifé par a‡eft a3 ̃¦—àa1‚ Le quotiens de apar a eft a¦-=a; a2. celui de a′ par a3⁄4 est a1 ̄3⁄4—a ̄}. De mème le quotient de xTM par x" eft xTM-"; est xTM-”; celui de xTM par x-" eft xTM+" ; celui de xTM par

m

est xTM-1; celui de x-TM divisée par x-eft x. Il en eft de même des autres.

On remarquera qu'il fuit de ces operations, r°. qu'un expofant négatif marque que la puissance, dont il eft l'exposant, eft un divifeur, & qu'elle eft par confequent au dénominateur; ainfi x xm m

m

de même des autres.

Il en eft

2°. Que l'on peut dans une fraction, faire passer une puiffance du dénominateur au numerateur, ou du numerateur au dénominateur, fans changer la valeur de la fraction. Par exemple au lieu dex, on peut écrire ax2yTM, L'on peut encore écrire. Il en eft de mème des autres. Ces changemens d'expression peuvens être d'ufage dans quelques rencontres.

pro

3°. Que quand on multiplie deux puissances dont les expofans. font négatifs, par exemple x ̃1⁄2 par x ̄1⁄2; ce qui donne le duit x ̄¦— \ = x~' ;-cette operation revient à la mème chose que fi l'on divifoit x-parxcar le quotient feroit aussi x————

I

4°. Que quand on multiplie la même grandeur ou la même puissance plufieurs fois par elle-mème, par exemple x 1⁄2 par x1⁄2 par x3 par x3, il faut écrire, pour exposant du produit, le double de l'exposant quand c'est x1⁄2 par xì; le triple, quand c'eft x1⁄2 parx1parx3, le quadruple, quand c'eft x3parx3parx3⁄4parxi;

X

4

=x2= x2. Il en eft de même des autres. D'où l'on voit que pour élever la puiffance d'une grandeur à une puissance dont l'exposant eft un nombre entier, il n'y a qu'à multiplier l'expofant de cette puissance par l'expofant de la puissance à laquelle on la veut élever, & l'on aura l'expofant que l'on cherche. Par exemple pour élever x3⁄4 à la quatrième puissance, il faut écrire x}×4—x}. · D'où il fuit que pour avoir la racine d'une puiffance quelconque, il n'y a qu'a divifer l'expofant de la puissance par l'exposant du figne radical de la racine, & le quotient fera l'expofant que l'on cherche. Par exemple pour extraire la racine quatriéme marquée

par de a3, il faut écrire pour la racine a 4 mème chofe des autres.

1

I

Mais divife par 4 eft la mème chofe que multiplié par 1; ainfi en regardant les racines comme des puissances, c'est-à-dire, n'employant pas le figne radical pour marquer les racines, mais Leur donnant, comme aux puissances, pour expofant des nombres rompus ; alors pour élever une puissance comme a3àune puissance dont l'exposant est un nombre rompu, par exemple, il ne faut que multiplier l'exposant‡ de la puissance proposée a3⁄4 par l'exposant ž de la puissance à laquelle on veut élever a3, & l'on aura a3⁄4×4 =a. Ce qui donne cette regle.

Pour élever une puissance quelconque a" à une puiffance quelconque dont l'expofant eft représenté par m, il ne faut que multiplier l'expafant n de la puissance proposée a" par l'expofant m de La puiffance à laquelle on veut élever a", & écrire a puissance que l'on cherche..

mn

pour la

Pour élever a3 à la puissance dont l'expofant eft, il faut écrire a3 × 1/2

ད་

=a; pour élever x" à la puissance dont l'exposant eft,

Voilà le calcul des puissances par le moyen de leurs expofans: voici la raifon fur laquelle ce calcul eft fondé : les Lecteurs qui fçavent les proprietez des progressions arithmetiques & des progreffions geometriques, l'entendront facilement.

I

A Progreffion geometrique des puiffances de a.

÷ ÷‚¦‚¦‚†, —, —, 1, ou a°, a', a2, a3, a*, a', a ́, &c.

B La même.

— a ̄6, a ̄′, a ̄4, a ̃3, a ̄2, a ̄', a°, a', a2, a3, a*, a', a', &c.

Toutes les puissances d'une grandeur a mifes de fuite, de maniere que a°, ou, ce qui est la même chofe, l'unité foit entre celles dont les expofans font les nombres entiers pofitifs pris de fuite, &celles dont les expofans font les mêmes nombres négatifs mis auffi de fuite; toutes ces puiffances, dis-je, font une progreffion geometrique.

Les expofans de ces puissances font une progreffion arithmetique, & zero qui eft entre les expofans pofitifs & les expofans négatifs, eft l'expofant de l'unité ou de a dans la progression geometrique: ainfi il y a deux progressions dans l'expreffion B; la geometrique. eft celle des puiffances; l'arithmetique eft celle des expofans.

Outre les termes marquez dans la progression geometrique B,on en peut concevoir une infinité d'autres de cette maniere. Entre a° ou l'unité & a', on peut concevoir toutes les puissances infinies de a dont les expofans font les nombres rompus pofitifs moindres chacun

I

3

que l'expofant de a', comme a, aš, aš, a‡, a3,

a

&c.

& l'on peut concevoir entre a° & a ̄1 toutes les puissances à l'infini de a, dont les expofans font les mêmes nombres rompus moindres chacun que l'unité, mais négatifs.

On peut de même concevoir entre a' & a un nombre infini de puiffances de a dont les expofans font de fuite tous les nombres rompus pofitifs fur qui passent l'unité, & font moindres que 2. On peut auffi concevoir entre a1& a le nombre infini de puissances de a, dont les expofans font les mémes nombres rompus dont on vient de parler, mais négatifs.

2

Ainfi entre chacun des termes de la progreffion B & celui qui le fuit, ou celui qui le précede, il peut y avoir une infinité d'autres termes qui feront tous les puiffances de a,mais leurs expofans feront

des nombres rompus pofitifs en allant de a° vers la droite, & né gatifs en allant de ao vers la gauche.

Pour faire concevoir que les expofans de ce nombre infini de puiffances de a mifes de fuite en progreffion geometrique, font entr'eux une progression arithmetique, dont la difference eft le plus petit nombre qu'on puiffe imaginer, il n'y a qu'à faire remarquer une maniere fimple de trouver ces termes moyens à l'infini entre les termes marquez dans B. Par exemple pour trouver tous les termes entre ao & a', ou entre 1 & a', il n'y a qu'à prendre le terme moyen proportionel geometrique ya; & pour avoir fon expofant, il n'y a qu'à prendre le moyen arithmetique proportionel entre & I qui eft. Ainsi l'on aura —a°, a 1, a'.

I

On prendra de même la moitié de o + qui eft, & la moitié de 1+1=1, laquelle moitié eft,& l'on aura÷a, a‡, a1‚

3

a, a!. On conçoit clairement qu'on peut ainfi continuer de prendre des termes moyens proportionels, tant les geometriques que les arithmetiques correspondans, & cela à l'infini ; & qu'on peut enfuite, au lieu d'un moyen proportionel, prendre deux, trois,qua&c. moyens proportionels geometriques entre deux termes voifins, & prendre en même temps les moyens proportionels arithmeti ques correfpondans qui ferviront d'expofans aux geometriques.

tre,

En imaginant de la même maniere les moyens proportionels geometriques entre tous les termes voifins & les arithmetiques qui leur fervent d'expofans, on verra clairement qu'on peut concevoir une progreffion geometrique infinie de toutes les puiffances de fuite d'une grandeur, dont les expofans feront aussi une progression arithmetique.

L'on remarquera que toutes les fois qu'on prendra quatre termes, dans la progreffion geometrique, qui feront entr'eux une proportion geometrique, les quatre expofans de ces quatre termes feront entr'eux une proportion arithmetique: Et que toutes les fois qu'on prendra plufieurs termes, c'est-à-dire tant de termes qu'on voudra, dans la progression geometrique, qui, quoiqu'éloignez les uns des autres, feront pourtant entr'eux une progreffion geometrique ; les expofans de tous ces termes, pris dans le même ordre, feront entr'eux une progression arithmetique; c'est-à-dire, la même difference regnera dans leur progreffion.

Mais quand zero eft le premier terme d'une proportion arithme tique 0, 1:2, 1+2 = 3, il faut ajouter le fecond & le troifiéms terme, & la fomme eft le quatrième terme. Quand zero eft le quatrième terme d'une proportion arithmetique 3, 2: 1,0, il faut retrancher le fecond terme du premier, & la difference eft le troifiéme terme. Enfin quand zero eft le premier ou le dernier terme d'une progression arithmetique÷0, 1,2,3,4; —— 4, 3, 29. I., O, il faut multiplier le terme le plus proche de zero, qui eft la difference de la progreffion, par le nombre des termes depuis zero non compris, par exemple par 4, fi l'on veut le quatrième terme depuis zero non compris, & le produit eft le terme que l'on cherche. C'eft la raifon des regles qu'on a données pour multiplier & pour divifer deux puiffances d'une mème grandeur l'une par l'autre par le moyen des expofans ; & pour élever une puissance d'une grandeur à une autre puiffance dont l'expofant eft donné. Car pour multiplier par exemple a par a3, il y a une proportion geometrique ao ou I'. a2 ::.a3. a3, dont l'unité eft le premier terme, a2 & a3 font le fecond & le troifiéme terme, & le produit a que l'on cherche eft le quatrieme terme. Les expofans σ, 2:3, 3 + 2 = 5 font auffi une proportion arithmetique dont zero eft le premier terme, les expofans 2 & 3 des grandeurs à multiplier, a2, a3, font le fecond & le troifiéme terme : ainfi ajoutant 2+3, la fomme 5 eft l'expofant du terme a' que l'on cherchoit.

Pour divifer a3 par a2, il y a une proportion geometrique a'. a' :: a'. a° ou 1, dont a3 eft le premier terme ; le divifeur a' le fecond terme; le quotient a que l'on cherche eft le troifiéme terme, & l'unité a ou 1 eft le quatrième terme. Les expofans 3,2:1, 0, font auffi une proportion arithmetique; le premier terme eft 3, le fecond eft 2, le troifiéme 1 eft l'expofant du quotient que l'on cherche, & zero eft le quatrième terme; ainfi en retranchant le fecond terme 2 du premier terme 3, la difference 1 eft l'exposant du: quotient que l'on cherche.

Pour élever la puissance d'une grandeur comme a'à ane puiffance dont l'expofant eft donné, par exemple à la puissance dont l'exposant eft 4, il y a une progression geometrique — a° ou 1, a', a', a', a*, dont le premier terme est l'unité, la puissance donnée a1 eft le premier terme après l'unité, & la puissance a* que l'on cher