c'est y mettre cette valeur à la place de l'inconnue, ou les puiffances, ou les racines de cette valeur à la place des femblables puiffances, ou des semblables racines de l’in

connue.

D'où il fuit, 1°, que fi l'inconnue eft dans l'équation avec le figne+ou-, il faut l'ôter de l'équation, & mettre fa valeur en fa place avec fes fignes fi l'inconnue a le figne+, avec des fignes contraires fi l'inconnue a le figne—.

2o. Si l'inconnue eft multipliée ou divifée dans l'équation par quelqu'autre grandeur, il faut multiplier ou diviser la valeur de l'inconnue par cette grandeur, & la mettre dans l'équation à la place de la grandeur où étoit l'inconnue : ce qui fe doit auffi entendre des puiffances de l'inconnue, ou de fes racines.

Enfin de quelque maniere que foit l'inconnue dans une équation, il faut y mettre de la même maniere fa valeur à fa place. Tout ceci s'entendra mieux par des exemples.

EXEMPLE I,

POUR fubftituer la valeur de y, qu'on suppose —a—x, dans l'équation x-y=d; il faut ôter -y de cette équation, & mettre en fa place fa valeur a-x, en changeant * 2 les fignes de cette valeur *, & l'on aura x-a + x = d; & en abregeant l'on aura 2x-a=d, & par tranfpofition 2x =a+d, & en divifant chaque membre par deux, l'on aura x=4; ce qui fait voir l'ufage des fubftitutions.

EXEMPLE II.

POUR fubftituer la valeur de x, qu'on fuppofe: fuppofe=y+1; dans l'équation xx—2x-3=0; il faut, 1o, élever chaque membre de xy+1 au quarré, & l'on aura xx=yy+2y

+1.

20. Multipliery +1 valeur de x par―2, & l'on aura — 2.86 27-2.

2x,

3o. Il faut mettre dans l'équation xx—2x—3—0, à la place de xx & de leurs valeurs, & l'on aura yy-4 —o, au lieu de xx—2x-3=0, & par tranfpofition l'on aura yy4, &y=2, l'on aura la valeur de x toute connue, en mettant à la place de y dans l'équation x=y+1, leur 2, car l'on trouvera x=3,

fa va

L'operation fe fait de cette maniere.

L'équation propofée est xx-2x-3=0, l'on suppose

1+I

ON propose de substituer dans l'equation x = la valeur dez prise dans l'équation ¿——1+ Vab+a+b+1 ve en mettant au lieu de fa valeur,

ན

I+A

l'on trou

Il faut enfuite abreger cette expreffion par les operations ordinaires de l'Algebre de cette maniere,

L'on aura donc l'expreffion la plus fimple x=I+

Vac +a+c+I.

Démonftration des fubftitutions.

L'ON met par la substitution des grandeurs égales dans une équation, à la place d'autres grandeurs qu'on en ôte; par confequent les deux membres de l'équation demeurent toujours égaux,

B iij

III.

9.

SECTION

Où l'on explique la maniere de réfoudre entierement les Problêmes fimples ou du premier degré, & l'on en apporte plufieurs exemples.

Λ

PROBLEME II.

APRE'S avoir réduit un Problème en autant d'équations qu'on a pris d'inconnues; trouver la valeur connue de toutes les inconnues, c'est-à-dire trouver la refolution du Probleme.

1o.

O

Premiere maniere.

N écrira toutes les équations du Problême qui expriment tous les raports connus qui font entre les inconnues & les connues, & on les nommera les premieres équations.

2o. On en prendra une, qu'on écrira à part, l'on prendra la valeur de l'une des inconnues qu'elle contient, & l'on fubftituera cette valeur à fa place dans toutes celles des premieres équations où se trouve cette inconnue, excepté celle où on l'a dégagée; après quoi cette inconnue ne fe trouvera plus dans les équations où fa valeur a été fubftituée, on écrira toutes ces nouvelles équations, & l'on y ajoutera celles des premieres équations où l'inconnue qu'on a ôtée, n'étoit point, s'il s'en trouve quelqu'une, & on les nommera les fecondes équations.

3°. On prendra une de ces équations, que l'on écrira avec celle qu'on a déja mise à part, on prendra la valeur de l'une des inconnues qu'elle contient, & on la fubftituera à fa place dans toutes celles des fecondes équations où se trouve cette inconnue, ce qui donnera de nouvelles équations où cette inconnue ne fe trouve plus. On les écrira, & l'on y ajoutera celles des fecondes équations où ne fe trouvoit pas cette inconnue, & on les nommera les troifiémes équations, fur lesquelles on operera comme l'on a fait fur les équations précedentes, & l'on continuera l'operation jufqu'à ce qu'on trouve une équation où il n'y ait qu'une feule inconnue.

4o. On prendra la valeur de l'inconnue de cette équation, & on la fubftituera dans celle des équations mifes à part, où il n'y a que cette inconnue & une autre, & il n'y reftera que cette autre inconnue, dont on prendra la valeur, qu'on fubftituera dans une des équations mises à où il n'y a que cette inconnue avec une autre. En continuant d'operer de cette maniere, on trouvera les valeurs connues de toutes les inconnues, & l'on aura la réfolution du Problême.

Seconde maniere.

part

1°. APR E's avoir écrit les premieres équations, on pren.

dra toutes les valeurs d'une même inconnue dans toutes celles des premieres équations où elle fe trouve, & l'on en écrira une à part.

2o. On comparera toutes ces valeurs les unes avec les autres; ce qui donnera de nouvelles équations, qu'on écrira, & l'on y ajoutera celles des premieres où n'étoit point cette inconnue, s'il s'en trouve, & l'on aura les fecondes équations.

3o. On operera fur celles-ci comme on a fait fur les premieres, & l'on continuera jufqu'à ce qu'on foit arrivé à une équation où il n'y ait qu'une inconnue.

4°. On en prendra la valeur, & on la fubftituera dans celles des équations mifes à part où elle se trouve avec une feule autre inconnue, & l'on continuera, comme dans la méthode précedente, jufqu'à ce qu'on ait les valeurs connues de toutes les inconnues.

REMARQUE.

LORSQU'ON a trouvé la valeur toute connue d'une feule inconnue, fi l'on n'avoit pas mis à part les équations dont on a parlé, on trouveroit neanmoins la valeur de toutes les inconnues en fubftituant la valeur toute connue dans une des équations où il n'y a que l'inconnue qui a cette valeur avec une feconde inconnue, & après la fubftitution on prendroit la valeur toute connue de la feconde inconnue, & on la fubftit teroit avec la valeur de la premiere inconnue dans une des équations où il n'y a que les deux premieres inconnues avec une troifiéme; & en continuant cette operation, on trouveroit les valeurs connues de toutes les inconnues.

Troifiéme maniere qui fert à abreger les operations
dans plufieurs cas.

IL arrive quelquefois qu'on trouve tout d'un coup la valeur toute connue de chacune des inconnues du Problême, en ajoutant ensemble deux ou plufieurs des valeurs d'une même inconnue prifes dans les premieres équations, ou bien en les retranchant les unes des autres. Il faut feulement obferver de joindre ensemble les valeurs d'une même inconnue qui forment une équation où les autres inconnues fe détruisent par des fignes contraires, ou toutes, ou la plûpart, comme on le verra dans l'exemple fuivant, auquel on appliquera ces trois méthodes.

Application de la premiere méthode à un exemple. ON fuppofe qu'en réduisant un Problême en équations, on a trouvé les quatre fuivantes.

2o. On prendra la valeur d'une inconnue, par exemple de v, dans laquelle on voudra de ces équations comme dans 2 la premiere, & l'on trouvera *v=z— x −y+a, qu'on écrira à part, & l'on fubftituera cette valeur dans les autres équations à la place de v, & l'on aura les fecondes équations où v ne fe trouvera plus.

Secondes équations abregées.

22—2y+a=b. 2z-2x+a=c. 2x+2y=a+d. 3o. On prendra la valeur d'une inconnue de ces fecondes * 2 équations, comme de z, & l'on trouvera* 22-2y-a+b; on l'écrira dans l'ordre des équations mifes à part, & l'on substituera cette valeur dans celles des fecondes équations où se trouvez, c'eft-à-dire dans la feconde, & l'on aura la premiere des troifiémes équations, & y ajoutant l'équation 2x+2y=a+d, les troifiémes équations feront les deux fuivantes,

Troifiémes