2n 2 l'on aura xxnx + { p — — ± √ { p − 1 + ÷ = 0, eft la formule dont on a befoin. Qn qui peut encore trouver une feconde réduite qui n'ait d'inconnue que l'indéterminée g, en prenant les valeurs de k dans la troifiéme & la quatrième équation; car l'on aura k = q— ni= "; & mettant dans cette équation la valeur de i prife dans la feconde, qui eft i=p-g, l'on aura q— np ng P3+, qui fe réduit à gg-pg+r=0.:: n - se Cette équation étant réfolue, on aura g ± √ = p + " — r — nnp + nq. •nng+nnp Subftituant les valeurs de ƒ & de g dans xx+fx+g=0, nn 2 on aura xxnx + = p + " " + v = p + "" — r — nnp +nq; o, qui eft une feconde formule pour la réfolution. Application de ces formules à une équation particuliere une équation du 5° degré x2+ ax*—aax3 + aabxx + abx3-a3xx a3bbo, il faut voir fi elle ne peut point fe réduire à deux équations plus fimples, l'une du fecond degré, & l'autre du troifiéme dont le fecond terme foit évanoui, qui en foient des divifeurs. 1o. Pour la rapporter à la formule generale, il faut fupposer +n+a, + p = — aa + ab, + q = + aab —. , + s=+ a3bb. -a3, 9 2°. Il faut fubftituer dans la formule xxnx + p—2/1/2 o, les valeurs des lettres n, p, &c. & 2 옮 2 aa+ah ab + na = O ainfi mais ✓ += √ + aabb = ab ainfi la formule fe change en xx + ax + ab — 0. 3: Divifant la propofée par xx+ax + ab = 0, on trouve le quotient exact x3 —aax + aab—o. Ce qui étoit propofé. Ón trouveroit la même équation xx + ax + ab =0, en fe fervant de la feconde formule xxnx + 1⁄2 p + Autre application de la méthode du troifiéme Problème aux équations du fixième degré. 145 LORSQU'UNE équation du fixième degré, représentée par la formule generale x2+nx' + px*+qx3+rxx + s.x+t=0, eft le produit d'une équation du second degré qui a tous fes termes, & d'une autre du quatrième, dont le fecond terme est évanoui, pour trouver les formules propres à la réduire à ces deux équations plus fimples: 1o. Après avoir fuppofé ces deux équations indéterminées xx+fx+8=0, x2+ ixx + kx + l o, & pris leur produit x2+ƒx'+gx2 + kx2 + lxx + gkx +gl=o, on com+ ix* +fix3+gixx+flx 6 +fkxx parera les termes de ce produit avec ceux de la formule generale qui leur répondent; & l'on trouvera les fix équations particulieres qui fuivent : 1", f=n; 2o, g +i=pi 3o, k+fi=q; 4°, l+gi+fk=r; 5°, gk+fl = s; 6o, gl=t. 20. Confiderant ces fix équations comme celles du Problême, on cherchera en dégageant les indéterminées comme fi c'étoit des inconnues, une réduite dont l'inconnue foit l'indéterminée g; & l'on trouvera par la 2o, i=p la 2o, i=p—g, par la 3o, k=q—fi = q — np + ng, par +88― ng + nnp - - nng; par la 5o, = la 4o, 1=r s−93+np8 −r33. Comparant ces deux valeurs de l, on aura la réduite qu'on cherche, qui étant ordonnée, est 2ngg 2npg+n3p=0; ou bien divifant le tout par 2n, gg nnp — ng + r — 1⁄2 — 0. 2 -nnq On peut encore trouver une feconde réduite du fecond degré dont g foit l'inconnue, 1°. en comparant les valeurs de / prifes dans la cinquiéme & fixiéme équation; car l'on' aura / s-93+nP3-n33 , qui fe réduit à n o; d'où l'on déduira gg Tome I. ngg - npg +98 + Pg+. L'on a déja par la 88=pg + -18-5 2 pg — 2 g + nng 2 2pg- - 2g+nng — nnp✦ng—r+=; ôtant les fractions, ordonnant cette équation, & faifant en forte que le premier terme n'ait pour coëficient que l'unité, on aura la feconde réduite gg nnpg + ngg rg — 8 nn + 21/ 12 Quand on voudra examiner fi une équation particuliere du fixième degré eft le produit de deux équations commenfurables plus fimples, dont l'une eft du fecond degré avec tous fes termes, & l'autre du quatrième, dont le fecond terme est évanoui, il faudra, après avoir fubftitué dans laquelle on voudra des deux réduites précedentes, les grandeurs de l'équation propofée, reprefentées par les lettres n, p, q, &c. trouver la valeur de l'indéterminée g, & substituer enfuite cette valeur, & celle de f, dans xx+fx+g=0,& divifer la propofée par l'équation réelle dans laquelle xx+fx+g=0 aura été changée, & fi la divifion fe fait exactement, on aura les deux équations plus fimples du fecond & du quatrième degré, aufquelles la propofée peut être réduite. Ou bien, fi l'on veut, on pourra substituer les grandeurs de la propofée, repréfentées par n, p, q, &c. dans les deux réduites, & trouver enfuite le plus grand divifeur commun des deux réduites après la fubftitution; ce plus grand divifeur commun fera trouver facilement la valeur de g; après quoi on la fubftituera avec la valeur de f dans xx + fx+g =o, & on divifera la propofée par l'équation du fecond degré qui en naîtra. Autre application de la méthode du troifiéme Probleme QUAND une équation du fixième degré, représentée par la formule generale x+nx'+ px*+qx3+rxx+sx+t=0, eft le produit de deux équations plus fimples chacune du troifiéme degré, dans l'une defquelles le fecond terme est évanoui; pour trouver les formules ou les réduites propres à trou ver ces deux équations plus fimples. 147 10. Après avoir fuppofé les deux équations indéterminées 2+gx+h=0, x3+ ixx + kx +/=o,& pris leur produit x + x + 8x + bx +hixx+bkx+blo,on com+ kx* + lx2 +gkxx+glx + gix3 parera les termes de ce produit avec ceux de la formule generale; ce qui donnera les fix équations particulieres qui fuivent: ire, in ; 2°, g+k=p; 3 c h + 1 + gi = q ; 4¢, hi +gk =r; se, bk+gl=s; 6o, hl=t. 2o. Pour trouver la réduite dont g foit l'inconnue, on aura par la 2° k=p-g; par la 3e, /= q-h―ng; par la 4o, k = nh par la 5, — shp+b8. Comparant les deux valeurs de k, l'on aura p-g d'où l'on déduit 88-1+. Il faut remarquer cette va h leur de h. Comparant enfuite les deux valeurs de l, on aura q ng = - hp; d'où l'on déduit b——88+98—5. -n88+98-s b 2hg Comparant ensemble les deux valeurs de h, on trouvera 38-P8+r -38-95, qui se réduit à 2g2+ nngg → nqg →ns n =o, qui est la réduite qu'on cherche. 3pgg2rg - pr +PPS 88-P3 Pour trouver une feconde réduite dont g foit l'incon nue > on comparera enfemble la valeur de h = 88 — P8 + r déja trouvée, avec la valeur de h prise dans la fixième équation, qui est h—†, après avoir mis dans h = la valeur de = & l'on aura 88-98 + r les fractions, on aura -83+P8-r 88+18=nn8−r+n1 ; après en avoir ôté qui eft une feconde réduite, qu'on abaiffera au second degré en prenant dans la réduite précedente la valeur de g* & de g3, & les fubftituant dans cette équation. L'operation fe fait de la maniere fuivante. Il faut multiplier la premiere réduite parg, & l'on Il faut fubftituer la valeur de g3, prise de la premiere réduite, dans cette équation. Pour cela il faut multiplier cette équa tion par 2, & l'on aura & fubftituer la valeur de +2nngs + 2Ppgg 6prg + 4rr 2nggg4npag+4nnt +4188 -2pg3 2pg3 + 2nng3, que l'on +2nng voit ici, (qui eft prise de la premiere réduite multipliée par —p+nn) dans l'équation précedente; & on trouvera enfin cette feconde réduite du 2ẹ degré, ou bien en changeant tous les fignes, on aura cette feconde réduite du 2e degré. -PP88 4prg+4rr =0. · n*gg + 3npqg + 4nnt +4rgg +2nnrg 4ngr -2nggg 2nsg + p'g + nps Quand on voudra voir fi une équation particuliere du fixième degré eft le produit de deux plus fimples commenfurables chacune du troifiéme degré, dont l'une des deux n'ait pas fon fecond terme, 10. il faudra fubftituer les grandeurs de l'équation représentées par n, p, q, &c. dans ces deux réduites, trouver leur plus grand commun divifeur; & par le plus grand divifeur commun, trouver la valeur degi ou bien la trouver feulement en refolvant la feconde réduite du fecond degré. 2o. Il faudra fubftituer la valeur de g qu'on vient de trouver, dans l'équation h— 83-P, ce qui donnera la valeur de h. |