Troifiémes équations abregéès. — 2.x+6=C. 2x+2y=a+d. 2y4o. On prendra la valeur d'une inconnue de ces troifiémes équations, comme de y, & l'on trouvera 2y=2x-6 +c. On écrira cette équation dans l'ordre des équations dans l'équa mises à part, & l'on substituera la valeur de tion 2x+2y=a+d, & l'on trouvera 4x a+b+c+d. Comme l'on eft arrivé à une équation qui ne contient qu'une feule inconnue x, on la dégagera, & l'on trouvera x a+b=c+d 4 2y On fubftituera la valeur connue de x dans l'équation mise à part 2y=2x—b+c, qui n'a d'inconnues que y & x, & l'on a+b=c+d b + c = a=b+c+d, & en divitrouvera 29 = fant chaque membre de 2y= y = a-b+c+d a-b+c+d 2 par 2, l'on aura 4 On substituera cette valeur de y dans l'équation mise à part 222ya+b, & après avoir abregé l'équation qui en viendra, & dégagé l'inconnue, on trouvera atbrerd. dans Enfin on fubftituera les valeurs connues de x, y, z, l'équation mife à part vzxy+a, & après avoir abregé l'équation qui en viendra, & dégagé l'inconnue v, a+b+c=d. on trouvera v= Le Problême eft entierement réfolu, & l'on a toutes les valeurs connues des grandeurs inconnues, x4+b+d+d y = a=b+c+d 2 == a+b+c+d & a+b+c-d y= ข Application de la feconde méthode au mème exemple. x+y+z=v+d. Equations mifes à part. v = Z-x−y+a. = 2y+b 2x= 1o. On prendra dans les premieres équations toutes les valeurs d'une même inconnue, comme dev, & l'on en mettra une à part. Ces valeurs font, v=z―x−y+ a. v=yx z +6. v=x-y — ༢.+¢. 2o. On comparera ces valeurs égales les unes avec les autres, & l'on aura les fecondes équations. Tome I. C Secondes équations abregées. 22 — 2y = b — a. 22-2x=(-a. 2x+2y=a+d. Les autres équations qu'on pourroit faire des quatre valeurs de v, font inutiles, ces trois équations contenant toutes les inconnues du Problême excepté v, & toutes les connues. 3. L'on prendra dans les fecondes équations toutes les valeurs d'une même inconnue comme de z, & l'on aura, 22 = 2y+b— A. 22=2x+c-a. On en écrira une dans l'ordre des équations mifes à part, on comparera ces valeurs les unes avec les autres, & on aura les troifiémes équations en y ajoutant l'équation 2x+2y ad, dans laquelle ne fe trouve point. 2x Troifiémes équations abregées. ·2y=b—c. 2x+2y= =a+d. 4o, On dégagera l'inconnue x dans ces troifiémes équa→ tions, & l'on aura 2x-2y+b — C', - C. 2x= 2y+a+d. On en écrira une dans l'ordre des équations mifes à part, & on fera une équation de ces deux valeurs de 2x, & l'on aura l'équation 4y—a—b+c+d, où il n'y a que la feule inconnue y, en divifant chaque membre par 4, y = 2=b+c+d l'on aura Enfin on substituera la valeur de y dans les équations mifes à part, & l'on trouvera la valeur de x, & avec ces deux valeurs, celle de ; & enfin celle de v, qui font, +b2+4,་ ༢= ข Application de la troifième méthode au même exemple. Equations du Problème. v+x+y=z+a. v+x+z=y+b. v+y+2=x+c. x+y+z=v+d. Divifant par 4, v=a+b+d. Divisant par 4, x+6=c+d; abregée: z=v―x-y+d. Somme 42=a+b+c+d. · abregée. Divifant par 4,y= bed. Divifant par 4, a+b+c+d AVERTISSEMENT. COMME Démonftration de ces trois méthodes. IL est évident que dans toutes les operations de ces méthodes, l'égalité fe conferve toujours entre les deux membres des équations qu'elles font trouver, & que les inconnues fe dégagent les unes après les autres, par confequent il y a égalité entre les membres des dernieres équations où conduifent ces méthodes; ainfi les dernieres équations donnent les valeurs toutes connues de toutes les inconnues du Problême. REMARQUE. 10. 1. LORSQU'ON ne peut pas dégager toutes les inconnues, ce qui arrive lorfqu'on n'a pas pû former autant d'équations qu'on a été obligé de prendre d'inconnues, le Problême est indéterminé, & il peut avoir differentes réfolutions; car en mettant des grandeurs arbitraires à la place des inconnues qu'on n'a pas pû dégager, on aura differentes réfolutions: il arrive neanmoins quelquefois que les grandeurs arbitraires doivent être entre certaines limites, autrement. on trouveroit des réfolutions négatives, ou même impoffi bles; les équations où fe trouvent les inconnues à la place. II. 20 defquelles on peut mettre des grandeurs arbitraires, feront connoître ces limites. Par exemple, fi en réfolvant un Problême, on ne peut trouver d'autre équation que celle-ci,y, ce Problême eft indéterminé, & en mettant differentes grandeurs arbitraires à la place de x, on aura differentes réfolutions. Cependant il eft évident que pour avoir des valeurs pofitives de y, il faut que chaque grandeur arbitraire qu'on mettra à la place de x, foit plus grande que b. Lorfqu'au contraire on a plus d'équations que d'inconnues, après avoir trouvé les valeurs toutes connues de toutes les inconnues, il faut qu'en mettant ces valeurs dans les équations qui restent, on ne trouve pas d'impoffibilité, c'est à-dire qu'on ne trouve pas dans les deux membres de ces équations des grandeurs toutes connues inégales entr'elles: car ce feroit une marque que l'on a fuppofé quelque impoffibilité dans les raports du Problême qui ont fourni ces équations; comme fi dans l'exemple auquel on a appliqué les méthodes, l'on avoit encore eu cette équation de plus que celles qui y font, x+y=e. L'on auroit trouvé en fubftituant dans cette équation, les valeurs toutes connues de * & de y, l'égalité ad=e; & fi la grandeur e n'étoit pas égale à, on auroit fuppofé dans le Problême une chofe impoffible. Exemples où l'on réfout plufieurs Problèmes fimples ou du 1o degré.. I. LA fomme a de deux grandeurs inconnues x &y, dont x eft la plus grande, étant connue avec leur difference d, trouver chacune de ces grandeurs. ولاب l'on Par la fuppofition x+y=a, & x-y=d; donc x=a −y, &x=d+y; dy; donc a-y=d+y, & par tranfpofition yad, & en divifant chaque membre par 2, aura y = d; fubftituant cette valeur dans laquelle on voudra des équations précedentes comme dans xa—y, l'on trouvera x = ز L'on a donc trouvé que la moitié de la fomme de deux grandeurs avec la moitié de leur difference, eft égale à la plus grande, & la moitié de la fomme moins la moitié de la difference, eft égale à la moindre. Ce qu'il faut bien retenir. I I. On propofe de trouver trois grandeurs inconnues x,y,z qui foient telles qu'en ajoutant une grandeur connue a à la premiere x, elle foit égale aux deux autres, en ajoutant la même grandeur a à la feconde y, elle foit égale au produit des deux autres x + par un nombre connu 6; enfin en ajoutant a à la troifiéme z, elle foit égale au produit des deux autres par un autre nombre connu c. Par la fuppofition x+a= y + 2: y+a=bx+bz. z+a=cx+cy. Donc xy+2—a. x= =༡+༢-4, en comparant la premiere de ces valeurs de l'inconnue x avec les deux autres, l'on aura, "Secondes équations abregées. 26 27 +63-3=abta. 2y+2=3 = act; en dégageant y dans l'une & dans l'autre, on aura y=-26x+ab+a, y= Comparant ces deux valeurs de y, on trouvera -2x+ab+a — — <33++, où dégageant z, l'on trouvera z=66+6=1& mettant cette valeur de 20 après avoir abregé y = 36c+b+c=1? abc+3ac-ab+a -2b+ab+ l'on trouve dans ༢. y= +ab+a2 b-1 abc+3ah-ac+a fubftituant les valeurs connues de z & de y dans xyz-a, l'on trouve après ༢ avoir abregé x= -ahe+ahac +3a 36c+b+c-I Si l'on fuppofe a=10, b = 2, c=3, y=411x=64. ༢=༦ ༣. I I I. Deux nombres qu'on exprimera generalement par a & b, étant donnés, trouver un troifiéme nombre inconnu x, par lequel les deux a & b étant divisés, fi l'on ajoute à chaque quotient,, un nombre donnée, les fommes+c,+c, foient entr'elles comme deux nombres donnés m & n, l'on fuppofe a moindre que b, & m b, & m moindre Par la fuppofitionc.+cm. n; ce qui donne cette équation + cn= +cm; multipliant toutes les tités par x, l'on aura an+cnxbmcmx, & dégageant x, l'on aura x= bm-an cn-cm Si l'on fuppofe a—12, b=36,c—8,m=3,n=5, l'on aura x=3. |