64x

plus grand divifeur commun de x- 16x' + 72xx +16=0, & de l'équation des limites x3- 12xx+36x

-y

160, & qu'on continue l'operation jufqu'à ce qu'on soit arrivé à un refte où x ne fe trouve plus, & qui n'ait pour inconnue que y, en fuppofant ce refte égal à zero; il y aura autant de y égaux à zero dans l'équation de ce refte, qu'il y a de racines communes à la propofée x* —— 16x3 +72xx 64x+16=0, & à l'équation des limites x3 — 12xx+36x 160, ce qui marquera qu'il y a des racines égales dans la propofée; c'eft-à-dire, y auroit trois dimenfions dans l'équation faite du refte, fi les quatre racines de la propofée étoient inegales, mais au lieu de cela, y n'aura que deux dimenfions, s'il y a une racine commune à la propofée & à l'équation des limites; y n'aura qu'une dimenfion dans l'équation du refte, s'il y a deux racines communes; & y fe trouvera entierement égale à zero dans l'équation faite du refte, fi toutes les racines de l'équation des limites font auffi les racines de la propofée, & que les quatre racines de la propofée foient égales.

Dans cet exemple on trouve pour refte y — 1440, ce qui fait connoître qu'il y a deux racines communes à la pro pofée & à fon équation des limites, & que la propofée contient par conféquent des racines égales.

D'où l'on voit que pour connoître fi une équation propofée contient des racines égales, il n'y a qu'à ajouter-y à son dernier terme, & enfuite chercher le plus grand diviseur commun de cette équation & de fon équation des limites; & continuer l'operation jufqu'à ce qu'on ait un refte qui n'ait que y pour inconnue, & fuppofer ce refte égal à zero. Si l'inconnue y eft au même degré dans cette équation, qu'eft x dans l'équation des limites, c'eft une marque qu'il n'y a pas de racines égales dans la propofée: Si l'inconnue y eft à un degré moindre dans cette équation du refte que celui de x dans l'équation des limites, c'eft une marque qu'il y a des racines égales dans la proposée.

SECTION III.

Où l'on explique differentes méthodes pour trouver les racines d'une équation lorfqu'on a deux limites pour chacune.

156. QUAND on a deux limites d'une racine d'une équation numerique, l'une moindre & l'autre plus grande que cette racine; ou, ce qui revient au même, lorsque la fubftitution de l'une & enfuite de l'autre à la place de l'inconnue, donne des fommes toutes connues dont les fignes font differens; trouver cette racine quand elle eft commenfurable; en trouver une valeur approchée quand elle est incommensurable ; & continuer l'approximation tant qu'on voudra.

PREMIERE MÉTHODE PAR

SUBSTITUTION

OU PAR DIVISION.

ON appliquera la méthode à un exemple en l'énonçant pour la rendre plus claire.

Il faut trouver les racines de xx- 76x+1248=0; les limites de la plus petite font zero & 38; la premiere étant fubftituée donne +, & la feconde donne; les limites de la plus grande font 38 & 77; la premiere étant fubftituée donne, & la feconde donne+.

1o. On prendra la difference des deux limites, & l'on ajou tera la moitié de cette difference, prifes en nombres entiers, à la moindre limite, ce qui donnera une fomme; ainfi la dif ference des deux limites zero & 38 de la premiere racine, eft 38, dont la moitié est 19, & la fomme de la moindre li. mite zero & de cette moitié, eft 19, La difference des deux li mites 38 & 77 eft 39, dont la moitié eft 19 ou 20; on pren dra laquelle on voudra, quand la difference est un nombre impair: on ajoutera cette moitié à la moindre limite 38, & la fomme fera 57 ou 58, il n'importe pas laquelle on prenne.

2o. On fubftituera la fomme qu'on vient de trouver à la place de l'inconnue x dans la propofée; ainfi on fubftituera

19 pour la premiere racine, &+ 57 pour la feconde;

ou,

x

ou, ce qui revient au même, on divifera l'équation propo fée par l'équation lineaire x moins cette fomme, c'est-à-dire par x—19—0, pour trouver la premiere racine, & par 570, pour trouver la feconde. On remarquera le figne de la fomme toute connue qui viendra de la fubfti tution, ou du refte qui viendra de la divifion, & s'il eft conforme au figne que doit donner la premiere limite, ou à celui que doit donner la feconde limite; par exemple en fubftituant 19, on trouve le figne+ conforme au figne que donne la moindre limite zero des deux limites o & 3.8 de la premiere racine, en fubftituant 57, on trouve le figne + conforme au figne que donne la plus grande limite 77 des deux limites 38 & 77 de la feconde racine.

30. On laiffera à prefent comme inutile celle des deux limites d'une racine dont la grandeur, fubftituée à la place dex, a donné le figne, & on prendra cette grandeur à fa place pour être une des limites de la racine qu'on cherche, avec l'autre límite dont la grandeur fubftituée n'a pas donné le figne.

Dans notre exemple en cherchant la premiere racine de la propofée dont zero & 38 font les limites, la grandeur rg ayant donné le figne de la moindre limite zero, c'cft à dire+, la limite zero fera deformais inutile pour trouver la premiere racine; on prendra à fa place la grandeur 19 qui a donné le même figne de la premiere limite zero, & la feconde limite fera 3-8.

On trouve de même en cherchant la feconde racine, que la grandeur 57 étant substituée à la place de x, donne le figne de la plus grande des deux limites 38 & 77 de la feconde racine, ainfi il faut laisser la plus grande limite 77 comme inutile, & prendre à fa place la grandeur 57 pour la plus grande limite, & la plus petite 38 demeure la même.

Il faut à present chercher la premiere racine de la propofée. entre les nouvelles limites 19 & 38, & la féconde entre les limites 38 & 57, en faifant une operation femblable à celle du premier & du fecond article, c'eft-à-dire en prenant, pour trouver la valeur de la premiere racine, la moitié de la difference de ces deux limites 19 & 38, laquelle moitié eft 9, l'ajoutant à la moindre limite 19, ce qui donnera la fomme 28;, & fubftituant cette grandeur 28 à la place de x dans la Sf

Tome I.

propofée : & comme la fomme qui en vient a le figne, qui eft celui que donne la fubftitution de la plus grande limite, il faut laiffer la limite 38 comme inutile, & mettre à fa place 28 pour la plus grande limité de la premiere racine, dont la plus petite limite fera 195 & continuer l'operation en ajoutant la moitié en nombres entiers de la difference 9 des deux dernieres limites 19 & 28, laquelle moitié eft 5 ou 4, à la plus petite limite 19, ce qui donnera la fomS me 24, & fubftituant cette grandeur 24 à la place de x dans la propofee: Et comme on trouve que la fomme qui en vient eft zero, la grandeur 24 eft la plus petite racine de la propofee.

con_

On cherchera la feconde racine comme on a fait la premiere, en prenant 9 qui eft la moitié de la difference 19 qui fe trouve entre les deux dernieres limites 38 & 57 de lá feconde racine de la propofée, & ajoutant cette moitié 9. à la moindre limite, la fomme fera 47, qui étant fubftituée à la place de x dans la propofée, donne le figne forme à celui qui vient de la substitution de la moindre li mite 38. On laiffera la limite 38 comme inutile, & on prendra à fa place 47, & la plus grande limite fera encore 57; ainfi les deux limites de la feconde racine feront 47 & 57. On prendra 5, qui eft la moitié exacte de leur difference, qui eft 10, on l'ajoutera à la moindre limite 47, & la fomme fera 52; on fubftituera 52 à la place de à la place de x dans la propofée, & l'on trouvera que la fomme qui en vient eft zero, ce qui fera voir que la grandeur 52 eft la feconde racine de la propofée.

REMARQUE.

IL est visible qu'en cherchant une racine, par cette méthode, entre deux limites, entre lefquelles cette racine est une grandeur moyenne, on augmente à chaque operation la plus petite limite, ou l'on diminue la plus grande, c'est pourquoi on arrive enfin à trouver la racine même, quand elle eft commenfurable. Mais quand en fuivant la méthode, on arrive à deux limites, l'une moindre, & l'autre plus grande que la racine, ou qui donnent par leur fubftitution des fignes differens, qui ne different entr'elles que de l'unité, il est certain que la racine eft incommenfurable; car on fuppofe

l'équation fans fractions, & que fon premier terme n'a pas d'autre coëficient que l'unité; ainfi fa racine étant entre deux nombres qui ne different que de l'unité, elle ne peut pas ún nombre entier ; & on a démontré qu'une fraction ne * 34. peut pas être la racine d'une telle équation.

*

Continuation de la premiere méthode.

être

4o. ON continuera d'augmenter par la méthode la moindre limite, & de diminuer la plus grande limite de la racine qu'on cherche, jufqu'à ce qu'on trouve une grandeur qui étant substituée à la place de l'inconnue, donne zero; ou, quand la racine eft incommenfurable, jufqu'à ce qu'on ait trouvé deux limites, l'une moindre que la racine, & l'autre plus grande, qui ne different entr'elles que de l'unité; & alors la moindre limite fera la valeur approchée de la racine, plus petite que la racine, & la plus grande limite fera la valeur approchée plus grande que la racine; & l'une & l'autre valeur approchée ne different pas de la racine exacte de l'u. nité entiere.

Pour continuer l'approximation, on se servira ordinairement de la troifiéme méthode qui fuit, comme étant la plus courte, mais on le pourra faire auffi par cette premiere, le calcul en fera un peu plus long; on prendra, qui eft la moitié de la difference des deux dernières limites, qui ne different entr'elles que de l'unité, & on l'ajoutera à la moin. dre des deux dernieres limites; on fubftituera cette grandeur à la place de l'inconnue, & on la prendra au lieu de la limite dont elle donnera le figne. Enfuite on prendra la moitié de la difference qui eft entre cette nouvelle limite & l'autre limite qui eft demeurée, on ajoutera cette moitié. à la moindre de ces deux limites, & la fomme fera la grandeur qu'il faut fubftituer à la place de l'inconnue dans la propofée, & on prendra cette grandeur au lieu de la limite dont elle donnera le figne.

On continuera ainfi de trouver des valeurs qui approchent de plus en plus à l'infini de la racine exacte, qu'on ne peut pas trouver autrement, puifqu'elle eft incommenfurable.