Je multiplie chaque terme par y*, & je trouve +9=227. 2) Je prens la valeur de z, & j'ai * Z="- +9. Je prens dans l'équation vz=r, dont je ne me fuis pas encore fervi, la valeur de z, & j'ai x=. * ༢.. Je fais des deux valeurs de z, l'équation-7-2. Je réduis les deux membres au même dénominateur, & après avoir effacé le dénominateur commun, je trouve vy -pvy + qv = 2ry. + Je prens 2ry ry * la valeur de v, & j'ai v= == 2ry 23 3. * 2. Je* fubftitue les valeurs de z & de v, z = "2=13+9 v=72y+q, qui n'ont point d'autres inconnues que la principale y dans la premiere, ou dans la feconde des premieres équations, il n'importe laquelle. Je la fubftitue, dis-je, dans la premiere -yy+v=―p, & je trouve — yy 53-Py+9 P, qui eft l'équation qu'il falloit trouver. On auroit pû prendre dans les trois premieres équations les trois valeurs de la même inconnue v, & les comparant ensemble, en faire deux équations, où il n'y auroit eu d'inconnue que avec la principale y, & prendre dans ces deux équations, deux valeurs de , qui étant comparées, auroient donné l'équation où il n'y auroit eu que l'inconnue principale y ; mais le calcul en auroit été un peu plus embarraffé. On ne met pas d'autres exemples, on en verra affez dans la fuite, & dans la Geometrie. DEMONSTRATION. IL est évident que l'on conserve toujours l'égalité dans toutes les operations du Problême, & qu'ayant employé toutes les équations du Problême à former la derniere, cette derniere équation renferme tous les raports exprimés par toutes les équations du Problême. Enfin il est évident que la réfolution de cette derniere équation donnera celle de toutes les équations du Problême. 4. 4. 4. 8. Où l'on explique la maniere d'oter toutes les fractions de l'équation du Problême. L'on y explique auffi toutes les définitions des équations compofées. A PROBLÈME II. 14. OTER toutes les fractions d'une équation composée. I'm faut réduire toutes les grandeurs de l'équation à un même dénominateur, & enfuite effacer le commun dénominateur, & abreger l'équation en effaçant les grandeurs qui fe détruisent par des fignes contraires, en joignant enfemble les mêmes grandeurs, & en divifant toutes les grandeurs par les lettres communes, & l'on aura l'équation fans fractions. 2ry 23 Par exemple, pour ôter les fractions de l'équation -py+1 - yy + 55 - P) + q = p, on réduira toutes les grandeurs de l'équation au dénominateur commun 27-2pyy+2gy, & l'on aura, On effacera le dénominateur commun, & toutes les quan tités qui fe détruifent par des fignes contraires, & l'on joindra ensemble les mêmes quantités, & on aura-y+2py* - Ppyy + 4ryy + qq=o; & en faifant paffer toutes les quantités dans le fecond membre, afin que y foit pofitive, on aura oy- 2py* →ppyy — ·4ryy-qq. On a démontré ces operations dans le premier Livre. On ôtera de la même maniere les fractions de l'equation 23 = - en multipliant les numerateurs y-py3 — qyy, &—py2+ppy +pq par 2y, & r par 4yy; & après avoir effacé le commun dénominateur, 4yy, & abregé l'équation, on trouvera la même équation y — 2py+ppyy — 4ryy —qq=0. - DEFINITION S. DEFINITIONS. I. UNE 15. E équation ordonnée eft celle où la plus haute puiffance de l'inconnue eft la premiere, & les autres puiffances de la même inconnue font de fuite, felon leurs degrez, ainsi x* —ax2+abxx—aacx+c=0,eft une équation ordonnée. I I. On appelle les termes d'une équation, les grandeurs où l'inconnue a différens degrez; & un feul terme, les grandeurs où l'inconnue eft élevée à un même degré. Quand il y a plufieurs grandeurs dans un même terme, on les écrit toutes les unes fous les autres. Les grandeurs connues qui multiplient l'inconnue dans les termes, s'appellent les coëfficients. Le premier terme eft celui où se trouve la plus haute puiffance de l'inconnue, le fecond eft celui où se trouve la puiffance fuivante de l'inconnue, & ainfi de fuite jusqu'au dernier terme, qui eft toujours celui où il n'y a que des grandeurs toutes connues, comme dans cet exemple, ·axx + abx —abc = 0. + al. C + bc. Le premier terme eft x'; le fecond eft—a—b—c xxx; le troifiéme eft ab+ac+bc × x; le dernier terme eft abc. —a—b — c font le coefficient du fecond terme; + ab acbc font le coefficient du troifiéme terme : L'unité est le coefficient du premier terme x I x x', lorfqu'il ne contient que la plus haute puiffance de l'inconnue, pour abreger, on n'écrit ordinairement qu'une feule fois l'inconnue dans un terme lorfqu'il renferme plufieurs grandeurs. Lorfqu'il y a de l'interruption dans la fuite des puiffances de l'inconnue, comme dans x-abx+abc-o, on dit dit que les termes où se trouve l'interruption, manquent dans l'équation, ou font évanouis; ainfi le fecond terme manque dans x' — abx+abc 0, &—abx demeure toujours le troifiéme terme. Le troifiéme terme eft évanoui dans x3-axx+abc=0. 16. On diftingue les équations en différens degrez. Les E Tome I. " équations fimples, ou du premier degré, ou lineaires, font celles où l'inconnue eft au premier degré, ainfi x-a =o eft du premier degré. Les équations du fecond degré font celles où la plus haute puiffance de l'inconnue eft élevée au quarré, xx—ax +abo, eft une équation du fecond degré. Les équations du 3o, du 4€, du se degré, &c. font celles où la plus haute puiffance de l'inconnue eft une 3, ou une 4o, ou une se puissance, &c. I V. La plus haute puiffance de l'inconnue, & toutes fes autres puiffances dans les termes fuivans, peuvent être les puiffances exactes du moindre degré de l'inconnue qui eft dans le penultiéme terme; par exemple, dans l'équation xa— ax* + abxx — aabc=o, en regardant le moindre degré de l'inconnue dans le penultiéme terme qui eft xx, comme lineaire, x eft fa troifiéme puiffance, xeft fa feconde puif. fance. Dans ce cas le degré de l'équation eft celui de la plus haute puiffance du moindre degré xx de l'inconnue, ainfi n'eft que l'équation x-ax2+ abxx — aabco, n'est du troifiéme degré, parceque x n'eft que la troifiéme puiffance du moindre degré xx de l'inconnue. · Ainfi x2 — aax2+aab?—o, est une équation du fecond degré, parceque x2 eft le quarré de x2. · 6 3P =0, De même x3- ·aax2+aabx — a3b3 — 0, eft du troifiéme degré, parceque x' eft le cube, & le quarré de x'. Mais x ax'abcxx-a'bcco, eft du fixiéme degré, parceque les puiffances exactes du moindre degré xx, ne font pas de fuite. COROLLA IR E. LORSQU'IL ne manque aucun terme dans une équation, il y a autant de termes plus un, que l'équation a de degrez, ainfi il y a deux termes dans une équation du premier degré, il y en a trois dans une équation du second degré, quatre dans une équation du troifiéme degré, &c. Car tous les degrez de l'inconnue font autant de termes que la plus haute puiffance de l'inconnue a de degrez, & les grandeurs toutes connues en font une autre qui eft le dernier terme. DEFINITION V. 17. SI tous les termes d'une équation ont chacun le même nombre de dimenfions, on dit qu'ils font homogenes ; ainfi tous les termes de x*—ax2 + abxx — aacx+a'd—o, font homogenes, parceque chaque terme eft de quatre dimenfions: mais les termes de x-ax3+ bxx-cx+d=o, ne font pas homogenes; & l'on dit alors que la loi des homogenes n'eft pas obfervée. Cette loi des homogenes doit être obfervée autant qu'il eft poffible dans les équations des Problêmes de Geometrie, parcequ'on ne compare pas, par exemple, des grandeurs planes ou de deux dimenfions, quand elles expriment des furfaces, avec des grandeurs folides ou de trois dimenfions, lorfqu'elles expriment des figures folides. REMARQUE I. CEPENDANT lorsque les produits qui font les termes des équations, n'expriment que des lignes dont les raports compofez avec l'unité ou avec d'autres lignes, font exprimez par le produit de plufieurs grandeurs, l'on peut comparer des raports plus compofez entre des lignes, avec des raports moins compofez,& même fimples,entre d'autres lignes;ainfi l'on peut comparer ensemble des grandeurs de differentes dimenfions, & où la loi des homogenes n'est pas obfervée. On peut auffi dans ce cas conferver toujours, fi l'on veut, la loi des homogenes, en concevant les moindres produits multipliez par l'unité autant de fois qu'il le faut, pour les rendre homogenes avec les produits d'un plus grand nombre de dimenfions; ainfi on rendra + bxx homogene avec ax3 en écrivant + 1xbxx. De même on pourra écrire -IXI×cx,&IxIxIxd, pour rendre les termes — cx+d, homogenes avec les autres. On verra dans la Geometrie les moyens de rendre homogenes tous les termes d'une équation, en confervant leur même valeur. REMARQUE II. UN des grands avantages de l'Analyse eft de ne pas partager inutilement l'efprit; c'eft pourquoi elle réduit les |