Ainfi xx-ax+6aa=0, est le plus grand diviseur commun des deux équations propofées. POUR trouver le plus grand divifeur commun des deux équations x3 -2axxaax-aab=0, & -bxx +zabx. 2axx+2аax -zaab = 0. je divife la premiere par la feconde; & en divifant le premier terme x par le premier terme-2axx-bxx du diviseur, je trouve la fraction. Cela me fait voir qu'il faut préparer la premiere équation, qui eft la grandeur à diviser, en la multipliant par le dénominateur2a-b; & je trouve pour produit la premiere équation préparée. & je trouve le quotient x, que je néglige, & le refte +2aaxx za3x + zab +bbxx —zaabx+aabb zabbx. qu'il faut continuer de diviser par le même diviseur - parceque la plus haute puiffance xx de l'inconnue n'est moindre dans le refte, que dans le diviseur. 2aa+bb pas Mais en faifant la divifion de ce refte par le divifeur, je trouve la fraction 244; ce qui me fait voir qu'il faut préparer le refte 2aaxx — 2a3x, &c. +bbxx, en le multipliant par le dénominateur-za-b, & je trouve le refte préparé 4a3xx + 4a3x zaabxx+6abx -4ab - zabbxx+ 6aabbx — aab3 -b3xx+2abʼx. Je continue de le diviser par le même diviseur — 2axx+2aax—zaab=0. & je trouve le quotient 2aa+bb, que je néglige, & le refte dont chaque terme peut être exactement divifé par—2ab +4aabb zab3. Ainfi je divise ce reste par — 2a3b+4aabb rab', & je trouve pour quotient xa, que je prens pour le dernier refte. Je divife maintenant la feconde équation qui a fervi de diviseur jufqu'ici, par le reste x-a, & la division est exacte. Par conféquent xao, eft le plus grand diviseur commun des deux équations propofées. Préparation pour la démonftration. LA démonstration n'est pas différente de celle qu'on a coutume de donner dans l'Arithmetique & l'Algebre, pour la méthode de trouver le plus grand divifeur commun de deux grandeurs incomplexes, & elle est fondée sur ces axiomes. AXIOME I. UN diviseur exact d'une grandeur, eft auffi un diviseur exact d'un multiple de cette grandeur; par exemple, un diviseur exact d'une grandeur A,eft un diviseur exact de 3A, ou en general de mA. UN diviseur exact d'une grandeur entiere A, qui a deux parties B & C, & de l'une de ces deux parties comme de B, l'eft auffi de la feconde partie C. AXIOME III. LE plus grand divifeur commun de deux grandeurs A & B, contient les autres communs divifeurs moindres des mêmes grandeurs, & il eft un multiple de chacun de ces divifeurs moindres. Ces chofes fuppofées. C=pD. B. Soit nommée A la premiere équa tion, & B la feconde, on fuppofe que A étant divifée par B, on trouve le quotient m ̧ & le refte C; ainsi A=mB+C. En divifant la feconde équation B le premier refte C, qu'on trouve le quotient n, & le refte D; ainfi BnC+D. par Enfin, qu'en divifant le premier refte C par le second D; la divifion foit exacte, & qu'on trouve le quotient p, ainfi C=pD. Il faut démontrer que D eft le plus grand divifeur com mun de A & de B. DE'MONSTRATION. 1. IL eft évident que Deft divifeur commun de A & de B, car par la fuppofition il l'eft de C; donc il l'eft de nC+D B par le 1 axiome; donc Deft diviseur de mB+C=A par le axiome. 2o. D eft auffi le plus grand divifeur commun de A & de B; car leur plus grand diviseur commun doit être diviseur de mB multiple de B; & étant auffi divifeur de la grandeur entiere mB+C=A, il est diviseur de la 2o partie C par le 2o axiome; donc le plus grand diviseur commun de A & de B, eft diviseur de 2C multiple de C par le re axiome, & étant auffi divifeur de la grandeur entière nC+D=B, il eft diviseur de D par le 2 axiome: Mais D eft diviseur commun de A & de B par la premiere partie de cette démonstration; ainfi le plus grand divifeur commun de A & de B, étant auffi divifeur de D, il faut que D foit lui même ce plus grand commun divifeur : autrement D feroit un divifeur commun de A & de B, qui surpasseroit le plus grand, ce qui feroit contre la fuppofition. Démonftration pour le cas où il faut préparer la grandeur à divifer. SI en divifant la premiere grandeur A par la feconde B, on trouve une fraction dont le dénominateur foit f, il faut préparer A en la multipliant par f; on fuppofe qu'en divifant enfuite fA par B, on trouve le quotient m & le refte C, ainfi fAmB+C. Divifant Premiere.. Seconde. A. B. fA= mB+C. le. gB=nC+D. il Divifant enfuite B par le refte C, fi l'on trouve une fraction dont le dénominateur eft faut préparer Ben la multipliant par g, & l'on aura gB; on fuppofe qu'en divifant gB par premier refte C, on trouve le quotient n, & le reste D'; ainsi gB=nC+D. le Enfin on fuppofe qu'en divifant le premier refte C, par fecond D, la divifion eft exacte, & que C-pD. Cela fuppofé. Il est évident que le plus grand divifeur commun de A & de B, eft divifeur de fA par le premier axiome, & par conféquent de mB+C=fA. Il eft de même évident que le plus grand diviseur commun de A & de B, eft divifeur de mB & de gB, multiples de B; il eft par conféquent diviseur de C, feconde partie de mB+C, par le 2 axiome, & de nC +D=gB ; il l'eft auffi de nC multiple de C; par conféquent étant diviseur de nC+D, & de la premiere partie nC, il l'eft auffi de l'autre partie. D. ́· Ainfi D étant divifeur exact de C, il eft le plus grand com mun diviseur de A & de B, ou du moins il le contient, & il en eft le multiple. Mais quand les plus hautes puiffances de l'inconnue ne font point multipliées par d'autres grandeurs connues dans A & dans B, la puiffance la plus élevée de x dans le plus grand divifeur commun, doit être feule; c'est pourquoi en divifant le dernier reste D, divifeur exact du précedent, par le coëficient de la plus haute puiffance de fon le quotient doit être le plus grand diviseur commun de A & de B. inconnue x, Seconde maniere de trouver le plus grand divifeur commun. 21. ON nommera la premiere équation A ̧, pour rendre la chose plus claire, & la feconde B. 4 Il faut prendre la valeur de la plus haute puiffance de l'inconnue x, qui eft le premier terme de B, & fubftituer cette valeur au lieu de x dans A, (obfervant d'élever auparavant B au degré de A, en multipliant l'équation B par x,ou xx;&c. fi le premier terme de B étoit moindre que le premier termé de A.) Tome I. G I Il faut continuer cette fubftitution jufqu'à ce qu'on ait réduit à un moindre degré que B, & on appellera C l'équation où l'on aura réduit A par ces fubftitutions. Il faut enfuite prendre la valeur du premier terme de C, & la fubftituer dans B, & continuer la fubftitution jufqu'à ce qu'on ait réduit B à une équation D d'un moindre degré que C. L'on prendra enfuite la valeur du premier terme de D, qu'on fubftituera dans C, & l'on continuera ces operations jufqu'à ce qu'on trouve une équation E, d'où la valeur du premier terme étant substituée dans la précedente D, tous les termes se détruisent par des fignes contraires. L'équation E fera le plus grand divifeur commun de A & de B. Lorfqu'il arrive que les premiers termes des équations A & B, ou B & C, ou C& D, &c. ont des coëficients, il faut préparer les deux équations en multipliant A par le coëfiçient du premier terme de B; & B par celui du premier terme de A, & faire la même chofe pour B & C, &c. comme on le verra dans les exemples. Premier exemple qui eft le troisième qui précede. POUR trouver le plus grand diviseur commun des deux x. 0, équations A. x*— 4ax3 + 1 1 aaxx- 4ax3 + 1 1 aaxx—20a3x + 12a*=0. B. x*— 3 ax3+12aaxx — 16a3x + 24a" = je prens la valeur de x* dans la feconde, & je trouve x=3ax" — 12aaxx+16a3x — 24a". Je fubftitue cette valeur de x dans la premiere équation, & après la fubftitution je trouve au lieu de la premiere équa tion, celle-ci -ax3: · aaxx — 4a3x — 1 2a*: dont tous les termes peuvent fe divifer par -a; & après la division, je trouve C. x2+ axx+4aax+12a3 = 0. =0, = Cette équation Cétant d'un moindre degré que la feconde B, je la multiplie par x, & j'ai l'équation x*+ax3+4aaxx +12a3x=0. Je prens dans cette équation la valeur de x*, qui est x* — — ax — 4aaxx — 12a'x, & je la fubftitue dans B, & après la fubftitution, je trouve l'équation—4ax3+8aaxx — 28a3x +24a=0.. |