22. ૨ ૨૨. ANALYSE COMPOSÉE, O U ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui se réduisent à des équations compofées. LIVRE III. Où l'on explique la nature des équations compofées, Le nombre & les qualitez de leurs racines, leurs transformations. AVERTISSEMENT. ON fuppofe dans ce Livre, 1°. que le fecond membre d'une équation compofée eft zero. 2°. Que la plus haute puiffance de l'inconnue, c'est-à-dire le premier terme, a toujours le figne+.3°. Qu'elle n'a ni fractions, ni incommenfurables. On a enfeigné dans les Livres précedens, les manieres de lui donner ces préparations. On fuppofe auffi que dans fon premier terme, la plus haute puiffance de l'inconnue n'a pas d'autre coëfficient que l'unité; on enseignera la maniere de lui donner cette préparation dans les transformations. Cela fuppofé, pour concevoir clairement la nature des équations compofées, il faut voir la maniere dont elles peu vent être formées. SECTION I Où l'on explique la maniere dont fe forment les équations composées. DEFINITION I. A valeur de l'inconnue dans une équation fimple x-a o, s'appelle la racine de cette équation. LA Ainfi a qui eft la valeur de l'inconnue x, dans x-a0, puifque xa, s'appelle la racine de l'équation x-a=0. Lorfque cette valeur eft complexe, comme dans x-a +b—c=o, la grandeur complexe +ab+c, (qui eft la valeur de x, puifque xa-b+c,) n'est pas moins la feule racine de l'équation x-a+b-c=o, & on peut l'abreger en mettant une feule lettre d-a-b+c, dans l'équation; ce qui donneroit x-do, ou bien x=d. Lorfque mettant l'inconnue feule dans le premier membre, fa valeur qui eft feule dans le fecond, eft pofitive, on dit que la racine eft pofitive; ainfi dans xa, la racine a eft positive; mais lorsque la valeur de l'inconnue eft négative, comme dans x=-6, on dit que la racine eft négative. D'où il fuit que lorfque zero eft le fecond membre de l'équation fimple, la racine pofitive a le figne négatif —, comme dans x-a=0; & la racine négative a le signe+, comme dans x+b=0. La racine d'une équation fimple ou lineaire, peut être ou commenfurable, comme dans xao, ou incommenfurable, comme dans x-Vabo, ou mixte, comme dans x—a+Vab=o. Ces trois fortes de racines s'appellent réelles. Ou bien elle peut être une grandeur impoffible, & qui marque que le Problême renferme une contradiction, comme dans x Car ✓aa eft une grandeur impoffible, n'étant pas poffible qu'il y ait de quarré qui foit précedé du figne négatifdont la racine foit poffible; parceque fi la racine a d'un quarré aa, a le figne+, ou le figne, le quarré aura toujours neceffairement le figne +, le produit de + par +, & de par, ayant toujours+; par confequent la racine quarrée d'un quarré négatif, comme ✔ eft une grandeur impoffible. aa, Ces fortes de grandeurs impoffibles s'appellent imaginai. res; & lorfque la valeur de l'inconue x, dans une équation fimple x-v aao, eft imaginaire, la racine de cette équation, qui eft +Vaa, s'appelle imaginaire. Enfin la racine d'une équation fimple peut être compofée d'une grandeur réelle, & d'une imaginaire, comme dans où la valeur de x est a—✔―—aa; a+v ·aa=0, H puifque xa-Vaa. Cette racine a-Vaa, s'appelle mixte imaginaire. Remarques fur les grandeurs imaginaires. 23. LA racine, dont l'expofant eft un nombre pair, d'une gran deur négative, eft toujours une grandeur imaginaire, ainfi √—aa,&—a', -a, &c. font des grandeurs imaginaires: car une grandeur a, foit qu'elle ait le figne-, ou le signe+, étant multipliée par elle-même autant de fois qu'on voudra, pourvû que ce nombre de fois foit pair, le produit aura toujours le figne+; par confequent une puiffance négative dont l'expofant eft pair, comme-aa, — a* — a′, &c. est une grandeur dont la racine eft impoffible ou imaginaire, puifque fi cette racine étoit poffible, la puiffance auroit toujours le figne+, & elle ne fçauroit avoir le figne 24. Mais fi l'expofant du figne radical ✓ d'une grandeur négative eft impair, la racine eft une grandeur réelle; ainsi √—a—a√, &c. font des grandeurs réelles, parceque la racine négative-a, étant multipliée par elle-même un nombre de fois qui foit impair, la puiffance qui en fera le produit, fera négative; car a × — a=+aa, & +aa -a3, & ainfi des autres. A THEOREME I. TOUTE Ainfi toute équation de deux degrez, peut être conçue comme formée par la multiplication de deux équations fimples. Toute équation du 3° degré, peut être conçue formée par la multiplication de trois équations fimples ; & ainfi des autres Démonftration pour les équations du fecond degré. TOUTES les équations Premiere, xx✈nx + p = du fecond degré peuvent être exprimées par ces, fix formules. Or toutes ces équations Seconde, xxnx xx p=0. -nx+p 0. O. peuvent être conçues formées par la multiplication de deux équations fimples. Car, 1°. fi l'on multiplie les deux équations fimples x+a &x+b=o, leur produit xx+ax+ab = 0. + bx, donnera la re formule, en fuppofant a+b=n, & ab=p.. 20. Si l'on multiplie les deux équations fimples x+a=0, & x-bo, leur produit xx+ax—ab=0. = -bx, donnera la feconde formule, en fuppofant, 10. a plus grand que b, & 20. a—b=n, &—ab——p. 39. Si on multiplie x-a=o, par x-bo, leur produit xx-ax+abo. donnera la troifiéme formule, en - bx, fuppofant- —a—bn, &+ab=+p. xx 40. Si on multiplie xao, par x+6=o, leur produit ax abo, donnera la quatriéme formule, en fup + bx, pofant, 10. a plus grand que b, & 2°. —a+b=—n,&— ab 5o. Ši on multiplie x+ao, par x-a-o, leur produit xx-aa―o, donnera la cinquième formule, en fuppofant =0, 60. Enfin fi on multiplie x+V―aa=o, par x-v— aa leur produit xx+aao, donnera la fixiéme formule, en fuppofant +aa=+p; par confequent toutes les équations du fecond degré peuvent être conçues formées par le produit de deux équations fimples. Demonftration pour les équations du troifiéme degré. TOUTES les équations du 3° degré peuvent être raportées à ces quatre formules pour abreger. Premiere, xnxx+px+q=0. Troifiéme, x'+nxx * +px+q=0. +9=0. +q=0. Or toutes les équations reprefentées par ces quatre formules, peuvent être conçues formées par la multiplication de trois équations fimples. Car 10. fi l'on multiplie les trois équations simples x+a=0 *+b=0,x+c=o, leur produit x'+axx+abx±abc=0, + bxx+acx +cxx+bcx, donnera la premiere formule, en fuppofant +a+b+c 2o. Si l'on suppose que la racine de l'une des trois équations 9;& 30. Si l'on fuppofe la même racine c avec un figne contraire à ceux des deux autres a & b, mais qu'elle leur foit inégale, on aura la troifiéme formule, en fuppofant les produits ac, bc, avec des fignes contraires à celui de ab, égaux ensemble à ab, & en fuppofant toujours les coeficients du deuxième & quatriéme terme du produit des trois équations fimples, égaux à ceux du deuxième & quatriéme terme de la troifième formule. 4°. Si on multiplie les trois équations fimples x + ÷ a +√—2aa=0,x+1a — √ — 1 aa—0,x—a—0, leur produit x3-a'=0, a'=o, donnera la quatrième formulę x3 o, en fuppofant a'= q. 3 a2 Et fi on multiplie les trois équations fimples x + √ — 2 aa = 0, x ——a— √ — — aa=0,x+a=0, = 1⁄2 a leur produit xao, donnera la quatrième formule x'+q o, en fuppofant a'=q, = Par confequent toutes les équations du troifiéme degré peuvent être conçues comme formées par trois équations fimples, REMARQUE, 25. ON peut auffi concevoir toutes les équations du troifiéme degré comme formées par la multiplication d'une équation du fecond degré, & d'une équation fimple. Car, 1°. fi on multiplie xx+x+m= 0, par x+=0, le produit xlxx+mx+cmo, donnera la premiere +cxx + clx, formule, en fuppofant +/+c=+n, ±m±d=±1, ±cm = ±q, |