tion qy3pfyy → nffy —f3 = 0; & divifant le tout par q, =0, sera la transformée qu'on cherche. --- y3 — Pƒyy+nƒƒy —ƒ3 IX. Pour trouver la transformée de x3 -pxx-q=o, qui foit telle que les racines x de la propofée foient égales à celles de la transformée plus ou moins une grandeur connue divifée ou multipliée par les racines de la transformée, ou par un multiple de ces racines. PAR exemple, pour trouver la transformée de x'— px±q =o, qui foit telle que x=y+, on fubftituera y + 557 & fon cube à la place de x, x'; P3 733 multipliant le tout par y3, l'on aura yqy'+o, pour la transformée qu'on cherche. Cette transformée n'est que du fecond degré. Si la propofée étoit x+px+q=0, on fuppoferoit x=y -, & l'on trouveroit la transformée yqy'-2 REMARQUE. P3 CETTE derniere transformation fert à réduire toutes les équations du troisième degré qui n'ont point le fecond terme à une transformée du fecond degré. Quand on aura trouvé la valeur de y dans la transformée, on fubftituera cette valeur dans l'équation x=y± {}, & l'on aura la valeur de x; c'eft-à-dire, l'on connoîtra une des racines de la propofée. X. Pour trouver une transformée dont les racines ayent tel raport qu'on voudra avec celles de la propofée, par exemple, celui de f à g ON fuppofera f. gy.x, d'où l'on déduira x — &; on fubftituera cette valeur & fes puiffances à la place dex & de fes puiffances dans la propofee x3. •nxx + px l'on trouvera la transformée y qui eft celle qu'on cherchoit Tome I. Pffy 88 −9=0;& L 37. Démonftration du Problème. POUR démontrer ce Problême, il ne faut faire attention qu'aux équations fimples dont une équation composée est le produit. Soient xa = 0. x— bo, les équations fimples de l'équation composée xx — ax + abo, qu'on veut transformer. - bx. Il est évident que les équations fimples de la transformée, dont les racines feront les racines de la propofée, augmentées de f, feront y—f— a = 0. —α=o. yƒ— b = 0; car la premiere donne y=a+fs la feconde donne y=b+f. Les équations fimples de la transformée, dont les racines feront celles de la propofée, diminuées de f, feront y+f— a =0. y+f—b=0; car la premiere donne ya —ƒ; la - f; feconde donne y = b — f. -a Il en eft de même des autres transformations. Il eft auffi évident qu'en fubftituant y-f, ou bien y+f, au lieu de x, dans les équations fimples de la proposée x — l'on aura après la fubftitution, les équa tions fimples de la transformée y-f—a=0,y—f—b =0, &c. o, =0, x -b = Mais il eft clair qu'en fubftituant y-f, par exemple, à la place de x; & le quarré de y-fà la place de xx, dans l'équation' ax + ab=0, qui eft le produit des fim xx -bx ples xao, x-bo, l'on a le même produit qu'on auroit en multipliant les fimples y —f—a=o, y —ƒ— b dans lesquelles les fimples xa = 0, x — b=0, ont été changées par la fubftitutión de y-f, à la place de x: Et ce produit eft évidemment l'équation transformée. L'on a donc par la méthode du Problême, la transformée qu'on cherche. Corollaires, qui fuivent des trois premieres transformations. I. Il fuit de cette démonstration, que s'il y avoit des racines imaginaires dans une équation, elles demeureroient encore imaginaires dans fa transformée, I I. Quand il y a des racines pofitives & négatives dans l'équa tion qu'on transforme en une autre, dont les racines font celles de la propofée, augmentée d'une grandeur connue f; en fubftituanty-fà la place de x; il est évident qu'il n'y a que les racines pofitives qui foient augmentées dans la transformée, & que les négatives y font diminuées de la grandeur f; car fi les équations fimples, dont la propofée eft le produit, font x-a=o, x+b=o, en fubftituant y —f à la place de x dans ces équations, l'on aura y-fa=0, y-f+b=o, qui font les équations fimples, dont la transformée eft le produit, & il eft évident que y -f-a=0, donne y=a+f, dans laquelle la racine pofitive a eft augmentée de f; & que y―f+b=o, donne y=b+f, dans laquelle la racine négative-b, eft diminuée de la grandeur+f. D'où il fuit que fi la grandeur ƒ eft égale à une des racines négatives, cette racine devient égale à zero; fon produit par toutes les autres, qui fait le dernier terme de la transformée, devient par confequent égal à zero; & la transformée peut s'abaiffer d'un degré. Si la grandeur f furpaffe toutes les racines négatives de la propofée, elles deviennent toutes pofitives dans la transformée; & alors la transformée ne contenant que des raci nes pofitives, tous ces termes ont alternativement les fignes +& D'où l'on voit que fi tous les termes de la transformée ont alternativement +&, on eft affuré que la grandeur f furpaffe toutes les racines négatives de la propofée; & quand cette alternative eft interrompue, on eft affuré que ƒ ne furpaffe pas toutes les racines négatives de la propofée, puifqu'il en refte quelqu'une ; & dans ce cas feft moindre que la plus grande des racines négatives de la propofée. Dans le cas où f furpaffe toutes les racines négatives de la propofée, & où par confequent toutes les racines de la transformée font pofitives, il est évident que la plus petite des racines de la transformée, répond à la plus grande des négatives de la propofée, qui eft devenue pofitive. Car le fur. plus de la grandeur ffur les racines négatives de la propo.. fée, eft précisément ce qui fait que ces négatives deviennent pofitives dans la transformée; & le furplus de f fur la plus grande des racines négatives de la propofée, eft le moindre 1 38. de tous; ainfi la moindre racine de la transformée eft celle qui répond à la plus grande des négatives de la proposée. D'où il est évident que les racines pofitives de la transformée, moindres que ƒ, font celles des racines négatives de la propofée, qui font devenues pofitives dans la transformée. Enfin lorfque fest moindre que chacune des racines négatives de la propofée, ces racines demeurent négatives dans la transformée, III. Lorfqu'il y a des racines pofitives & négatives dans une équation, & que par la fubftitution de y+fà la place de x, on la transforme en une autre, dont les racines font celles de la propofée, diminuées chacune de la grandeur f, il eft évident qu'il n'y a que les racines pofitives qui foient diminuées de la grandeur f, & que les négatives font augmen tées de la grandeur f. Car fi les équations fimples de la propofée font x-a=0,x+b=0; en substituant y +ƒà la place de x dans ces équations, l'on aura y+f- a = 0, y+f+b=o, qui font les équations fimples dont la transformée eft le produit, & il est évident que y+f-a=0, donne y=a—f, dans laquelle la racine pofitive a eft dimi nuée de la grandeur f; & que y+f+b=0, donne y — b—f, dans laquelle la racine négative eft augmentée (dans fa négation) de la grandeur-f. D'où il fuit que fi ƒ est égale à une des racines pofitives de la propofée, cette racine devient égale à zero dans la transformée; & par confequent le dernier terme de la transformée, qui eft le produit de cette racine égale à zero par toutes les autres, devient égal à zero; & l'équation peut être abaiffée d'un degré. Sif furpaffe toutes les racines pofitives, elles deviennent toutes négatives dans la transformée, & dans ce cas tous les termes de la transformée ont le figne+. Ainfi l'on eft affuré que ƒ furpaffe toutes les racines pofitives de la propofée, lorfque tous les termes de la transformée ont+; mais fi quelqu'un a le figne, il reste dans la transformée quelque racine pofitive, & l'on eft affuré que ƒ est moindre que la plus grande racine pofitive de la propofée; on fuppofe que toutes les racines font réelles, 39. 40. Quand tous les termes de la transformée ont le figne+, c'est-à-dire quand f furpaffe toutes les racines pofitives de la propofée, la plus petite des racines de la transformée répond à la plus grande des pofitives de la propofée, qui eft devenue négative dans la transformée, car le furplus de ffur les racines pofitives de la propofée, eft precifément ce qui fait ces racines pofitives deviennent négatives dans la transformée, & le furplus de ƒ fur la plus grande des racines positives de la propofée, eft le moindre de tous. que D'où il est évident que les racines négatives de la transformée moindres que f, font celles des racines pofitives de la propofée, qui font devenues négatives dans la transformée. Enfin quand ƒ eft moindre que chacune des racines pofitives de la propofée, ces racines demeureront pofitives dans la transformée. IV. Si on substitue une grandeur connue négative -f dans une équation x3- ―nxx + px ~q=0, à la place de l'inconnue x, la fomme des produits qu'on aura après la fubfticution, qui eft -ƒ3 — nff — pf—q, eft évidemment le dernier terme tout connu de la transformée, qu'on trouveroit en substituant dans la proposée y —ƒ à la place de l'inconnue x, dans laquelle transformée les racines pofitives de la propofée feroient augmentées de la grandeur ƒ, & les négatives diminuées de la même grandeur f Et fi l'on substitue une grandeur connue pofitive +ƒ dans une équation x'—nxxpx-q=0, à la place de l'inconnue x, la fomme des produits qu'on aura après la substitution, qui est ƒ3— nff + pf —q, est évidemment le dernier terme tout connu de la transformée, qu'on trouveroit en fubftituant dans la propofée y + f à la place de x; dans laquelle transformée les racines pofitives de la proposée seroient diminuées de la grandeur f, & les négatives augmen tées de la même grandeur f. Il n'y a qu'à faire les operations de la premiere & de la feconde transformation, pour en voir la démonstration. V. Dans la transformée qu'on trouve en substituant une grandeur connue moins une nouvelle inconnue comme ƒ—y, à la place de l'inconnue x de la propofée, les racines pofitives |