Geometrie fimple, c'est-à-dire, ce qui eft contenu dans les fix premiers Livres d'Euclide. On donnera dans la fuite un Traité Algebre & anc Geometric fimple.

Le feul calcul qui n'eft pas expliqué dans les Traitez d'Algebre dont on vient de parler, eft celui des expofans des puiffances. On le mettra ici en peu de mots pour la commodité des commen gans qui pourront le lire quand ils feront arrivez aux endroits de cet Ouvrage où ils en auront befoin.

Lorfqu'une même grandeur a eft multipliée par elle-même une fois, deux fois, trois fois, & ainfi de fuite; les produits aa, aaa, aaaa, &c. s'appellent les puiffances de cette grandeur. Pour abreger ces expreffions, l'on écrit au haut de cette grandeur vers la droite en moindre caractere le nombre qui exprime combien de fois chacun des produits contient la lettre a, de cette maniere a2, a3, a, a', &c. ces nombres s'appellent les expofans des puissances de la grandeur a; ainfi a' eft la feconde puissance de a, & 2 est l'expofant de la feconde puissance de a ;3 eft l'expofant de la troifiéme puiffance; & ainfi des autres: on donne auffi à la grandeur fimple a l'unité pour expofant, de cette forte a'; ce qui marque la premiere puiffance de a qui n'eft point multipliée par elle-même. Les grandeurs dont les expofans font des nombres entiers, s'appellent des puiffances entieres.

Les racines d'une grandeur a fe marquent ordinairement par le figne avec le nombre au-dessus qui marque fi c'est la racine quarrée ou feconde, la racine cubique ou troisième, la quatrième, &c. de cette forte ya, ya, ya,&c. Mais pour les réduire au mème calcul que les puiffances entieres, on les marque fans le figne √, & l'on écrit, pour leur expofant, une fraction dont le numerateur est l'unité & dont le dénominateur eft le nombre 2 fi'c'eft la racine feconde; le nombre 3, quand c'eft la racine troifième, &c. de cette forte a a13,a ì, a3; &c. Ainfi a ya marque la racine feconde de a; &ainfi des autres. Par le moyen de ces expreffions on peut regarder les racines des grandeurs comme des puiffances dont les expofans font des nombres rompus.

I

I

La racine quelconque d'une grandeur a2, a', &c. qui eft une puiffance entiere, fe marque en donnant pour expofant à cette gran deur une fraction dont le premier terme eft l'exposant de la puissance antiere de cette grandeur, & dont le fecond terme eft l'expofant de la racine qu'on veut exprimer. Ainfi la racine feconde de a fa

marque

3

marque ainfi a12; la racine cinquième de a' se marque ainfi a3. Il en eft de même des autres.

Pour marquer une puiffance en general, on prend une lettre pour expofant ; ainfi a marque une puissance quelconque ; l'expofant (n) repréfente tel nombre qu'on voudra, foit entier, foit rompu, & on Pappelle, à cause de cela, un expofant indéterminé. On peut aussi marquer une puissance en general, dont l'exposant eft une fraction, de cette maniere a3, ce qui fignifie Ja, c'est-à-dire la racine quel

I

m

me

conque représentée par (n) de la grandeur a. De même aa" marque la racine quelconque, représentée par l'indéterminéen, de a élevée à la puissance entiere dont Lexpofant, quelque nombre entier qu'il puiffe être, eft représenté par l'indéterminée . Ces exm. pofans indéterminez fervent à trouver des réfolutions generales qui conviennent à toutes les grandeurs particulieres dont les puiffances peuvent avoir pour expofans quelque nombre que ce puisse ètre ; tous ces expofans particuliers pouvant être repréfentez par l'expofant indéterminé. Ces chofes fuppofées, voici le calcul des puiffances par le moyen de leurs expofans.

LE CALCUL DES PUISSANCES DES GRANDEURS par le moyen de leurs expofans.

POUR multiplier deux puiffances d'une grandeur, il ne faut qu'ajouter les deux expofans de ces puissances, & écrire la fomme des expofans pour l'expofant du produit.

Pour divifer une puissance d'une grandeur par une autre puiffance de la même grandeur, il ne faut qu'oter l'expofant du di vifeur de l'expofant de la puissance à divifer, & écrire la difference des expofans pour l'expofant du quotient.

3

2

le

Pour multiplier a par a3, il faut écrire a13ou a pour le produit. Pour multiplier a2 par a', il faut écrire a11 ou a3 pour produit. Pour multiplier a para, il faut écrire pour le produit a+a. Pour multiplier a para, il faut écrire pour le produit a ť a 2 + 4 → —a. Dè mème le produit de x" par xTM eft x” celui de x" par eft ; celui de x" par x eft x dé x" par x3 est × "+}x. Il en eft de mème des autres.

celui

Tome I.

d

Pour divifer a3 par a2, il faut écrire pour le quotient a2=a*z de même le quotient de a par a'eft a11a'; celui de a' divifé

=

3

= a 1

par a žest a1 ̃ ì—a‡. Le quotient de a3para3 est a3 ̄†—a
`celui de a' para3⁄4 est a'-—a ̄3. De mème le quotient de xm

m+n

m

par x" x'
eft xTM-"; celui de x" par x-" eft x"+"; celui de xTM par x'
eft xTM−1; celui de x➖TM divifée par x-eft x+1. Il en eft de
même des autres.

13

On remarquera qu'il fuit de ces operations, 1°. qu'un expofant négatif marque que la puissance, dont il est l'exposant, eft un divifeur, & qu'elle eft par confequent au dénominateur; ainfi x-1 = Il en eft

X

de même des autres.

m

2°. Que l'on peut dans une fraction, faire passer une puiffance du dénominateur au numerateur, ou du numerateur au dénomina. teur, fans changer la valeur de la fraction. Par exemple au lieu de, on peut écrire ax1y-3. L'on peut encore écrire. Il en eft de mème des autres. Ces changemens d'expression peuvent ètre d'ufage dans quelques rencontres.

pro

3°. Que quand on multiplie deux puissances dont les expofans font négatifs, par exemple x par x ̄; ce qui donne le duit x ̄1⁄2-1⁄2 = x~'; cette operation revient à la même chose que fi l'on divifoit x-parxcar le quotient seroit aussi x−1⁄2-1⁄2

I

4°. Que quand on multiplie la mème grandeur ou la mème puissance plufieurs fois par elle-même, par exemple xī par x 1⁄2 = par x1 parx3 ̧ il faut écrire, pour expofant du produit, le double de l'exposant quand c'est xì par x2; le triple, quand c'est x2 parx1par x3; le quadruple, quand c'eft x1 par x1⁄4parx}parx1;

I

& ainfi des autres. Car xxx=x+x=x, xx

I

X 2

3.

X

=X X XX 2 X X 2 X X 2 +++를

= x2 = x2. Il en eft de même des autres. D'où l'on voit que pour. élever la puissance d'une grandeur à une puissance dont l'expofant eft un nombre entier, il n'y a qu'à multiplier l'expofant de cette puissance par l'expofant de la puissance à laquelle on la veut élever, & l'on aura l'exposant que l'on cherche. Par exemple pour élever×3à la quatrième puissance, il faut écrire x3×4—x3. D'où il fuit que pour avoir la racine d'une puissance quelconque, il n'y a qu'a divifer l'expofant de la puiffance par l'exposant du figne radical de la racine, & le quotient fera l'exposant que cherche. Par exemple pour extraire la racine quatrième marquée. 18

par & de a3, il faut écrire pour la racine aễ—a

même chofe des autres.

=

l'on

C'est la

Mais divife par 4 eft la même chose que multiplié par ainfi en regardant les racines comme des puiffances, c'est-à-dire, n'employant pas le figne radical V pour marquer les racines, mais leur donnant, comme aux puissances, pour exposant des nombres rompus ; alors pour élever une puissance comme àa3à'une puissance dont l'exposant eft un nombre rompu, par exemple, il ne faut que multiplier l'exposant de la puissante proposée apar l'exposant de la puissance à laquelle on veut élever a3, & l'on aura a =a. Ce qui donne cette regle..

Pour élever une puiffance quelconque aa à une puissance quel-conque dont l'exposant eft représenté par m, il ne faut que multiplier l'expofant n de la puissance proposée a" par l'exposant m de la puiffance à laquelle on veut élever a", & écrire an pour la puissance que L'on cherche.

Pour élever a à la puissance dont l'expofant eft, il faut écrire a 3 × ÷ — a 3; pour élever xa à la puissance dont l'exposant est —

3

nn

n

il faut écrire x. Il en eft de même des autres.

1

Voilà le calcul des puiffances par le moyen de leurs expofans: voici la raifon fur laquelle ce calcul eft fondé : les Lecteurs qui fçavent les proprietez des progressions arithmetiques & des progreffions geometriques, l'entendront facilement.

A Progreffion geometrique des puiffances de z.

†, †, 4, †, —, —, 1, •« a°, a', a2, a', a1, a', a¶, &c.

B La même.

―a, a, a, a ̃3, a ̄2, a ̄', a°, a', a2, a3, a*, a', ao, &e̟, Toutes les puissances d'une grandeur a mifes de fuite, de maniere que a°, ou, ce qui eft la même chofe, l'unité foit entre celles dont les expofans font les nombres entiers pofitifs pris de fuite, & celles dont les expofans font les mêmes nombres négatifs mis auffi de fuite; toutes ces puiffances, dis-je, font une progreffion geometrique.

Les expofans de ces puiffances font une progression arithmetique zero qui eft entre les expofans pofitifs & les expofans négatifs, eft l'expofant de l'unité ou de a° dans la progreffion geometrique: ainfi il y a deux progressions dans l'expreffion B; la geometrique eft celle des puiffances 3 Parithmetique eft celle des expofans.

Outre les termes marquez dans la progreffion geometrique B, on on peut concevoir une infinité d'autres de cette maniere. Entre a° eu l'unité &a', on peut concevoir toutes les puissances infinies de a dont les expofans font les nombres rompus pofitifs moindres chacun que l'expofant de a', comme a a3, a 3, a 1, a 3, &c. *, & l'on peut concevoir entre a°& a ̈1 toutes les puissances à l'infini de a, dont les expofans font les mèmes nombres rompus moindres. chacun que l'unité, mais négatifs.

a

On peut de même concevoir entre a & a un nombre infini de puiffances de a dont les expofans font de fuite tous les nombres rompus pofitifs fur qui passent l'unité, & font moindres que 2. On peut auffi concevoir entre a ̈1& a ̄2 le nombre infini de puissances de a, dont les expofans font les mêmes nombres rompus dont on vient de parler, mais négatifs.

Ainfi entre chacun des termes de la progreffion B & celui qui le fuit, ou celui qui le précede, il peut y avoir une infinité d'autres termes qui feront tous les puiffances de a, mais leurs expofans feront