des nombres rompus pofitifs en allant de a° vers la droite, & néa gatifs en allant de aowers la gauche.

Pour faire concevoir que les expofans de ce nombre infini de puiffances de a mifes de fuite en progression geometrique, font entr'eux une progression arithmetique, dont la difference eft le plus petit nombre qu'on puiffe imaginer, il n'y a qu'à faire remarquer une maniere fimple de trouver ces termes moyens à l'infini entre les termes marquez dans B. Par exemple pour trouver tous les termes ‚entre ao & a', ou ́entre 1 & a', il n'y a qu'à prendre le terme moyen proportionel geometrique ya; & pour avoir fon expofant, il n'y a qu'à prendre le moyen arithmetique proportionel entre o & I qui eft. Ainsi l'on aura —a°, a3, a'.

On prendra de même la moitié de o + — qui eft, & la moitié de 1+1=2, laquelle moitié eft 2, & l'on aura— a', a 4, a

3 a'. On conçoit clairement qu'on peut ainfi continuer de prendre des termes moyens proportionels, tant les geometriques que les arithmetiques correspondans, & cela à l'infini ; & qu'on peut enfuite, au lieu d'un moyen proportionel, prendre deux, trois,quatre, &c. moyens proportionels geometriques entre deux termes voifins, & prendre en même temps les moyens proportionels arithmetiques correfpondans qui ferviront d'expofans aux geometriques.

En imaginant de la même maniere les moyens proportionels geom metriques entre tous les termes voifins & les arithmetiques qui leur fervent d'expofans, on verra clairement qu'on peut concevoir une progreffion geometrique infinie de toutes les puiffances de fuite d'une grandeur, dont les expofans feront auffi une progreffion arithmetique.

L'on remarquera que toutes les fois qu'on prendra quatre termes, dans la progression geometrique, qui feront entr'eux une proportion geometrique, les quatre expofans de ces quatre termes feront entr'eux une proportion arithmetique: Et que toutes les fois qu'on prendra plufieurs termes, c'eft-à-dire tant de termes qu'on voudra, dans la progression geometrique, qui, quoiqu'éloignez les uns des autres, feront pourtant entr'eux une progreffion geometriques ·les expofans de tous ces termes, pris dans le même ordre, feront entr'eux une progression arithmetique ; c'est-à-dire, la même difference regnera dans leur progression.

Mais quand zero eft le premier terme d'une proportion arithme tique 0, 1:2, 1+2 = 3, il faut ajouter le fecond & le troifiéme terme, & la fomme eft le quatrième terme. Quand zero eft le quatrième terme d'une proportion arithmetique 3, 2:1,0, il faut retrancher le fecond terme du premier, & la difference eft le troifiéme terme. Enfin quand zero eft le premier ou le dernier terme d'une progreffion arithmetique÷0, 1, 2, 3, 4; — 4, 3, 2, 1, 0, il faut multiplier le terme le plus proche de zero, qui eft la difference de la progreffion, par le nombre des termes depuis zera non compris, par exemple par 4, fi l'on veut le quatrième terme depuis zero non compris, & le produit eft le terme que l'on cherche. C'eft la raifon des regles qu'on a données pour multiplier & pour divifer deux puiffances d'une même grandeur l'une par l'autre par le moyen des expofans ; & pour élever une puissance d'une grandeur à une autre puissance dont l'expofant eft donné. Car pour multiplier par exemple a2 par a3, il y a une proportion geometri que ao ou 1. a2 ::.a3. a, dont l'unité eft le premier terme, a2 & a3 font le fecond & le troifiéme terme, & le produit a3 que l'on cherche et le quatrième terme. Les expofans o, 2:3, 3+2 = 8 font auffi une proportion arithmetique dont zero eft le premier terme, les expofans 2 & 3 des grandeurs à multiplier, a2, a3, font le fecond & le troifiéme terme : ainfi ajoutant 2+ 3, la fomme s cft l'expofant du terme a' que Pon cherchait:

Pour divifer a3 par a, il y a une proportion geometrique a1. a' :: a'. ao ou 1, dont a3 eft le premier terme ; le divifeur a lè fecond terme; le quotient a' que l'on cherche eft le troifiéme terme, & l'unité a ou 1 eft le quatrième terme. Les expofans 3, 2:1, 0, font auffi une proportion arithmetique; le premier terme eft 3, le fecondeft, le troifiéme 1 eft l'exposant du quotient que l'on cherche, & zero eft le quatrième terme; ainfi en retranchant le fecond terme 2 du premier terme 3, la difference 1 eft l'expofant du quotient que l'on cherche:

Pour élever la puissance d'une grandeur comme a' à ane puiffance dont l'expofant eft donné, par exemple à la puissance dont l'expofant eft 4, il y a une progreffion geometrique a ou 1, a', a', a', a*, dont le premier terme eft l'unité, la puissance donnée a1· eft le premier terme après l'unité, & la puissance a que l'on chere

che eft le quatrième terme après l'unité. Les expofans font auffe une progression arithmetique -- 0, 1, 2, 3, 4, depuis zero ; le premier terme après zero eft l'unité, & c'est la difference de la progression; l'exposant que l'on cherche eft le quatrième terme après zero; & dans une progression arithmetique, la difference étant connue, qui eft ici 1, & le nombre des termes après zero, qui eft ici 4, il n'y a qu'à multiplier la difference par le nombre des termes depuis zero non compris, & le produit, qui eft ici 4, eft le terme que l'on cherche de la progression arithmetique, & par confequent l'expofant de la puissance a que l'on cherchoit,

AVIS AU LECTEUR.

A première édition de l'Analyse démontréé dú Pere Reyneau, étant devenue très-rare depuis plufieurs années, nous avons crû devoir entreprendre cette feconde édition. Nous n'avons rien négligé pour la rendre auffi correcte que la premiere. On trouvera dans cette nouvelle édition quelques Remarques de M. de Varignon fur l'Analyfe démontrée; nous avons jugé à propos de les inferer à la fin du Tome fecond, afin que ceux qui ont la première édition de l'Analyse puiffent les y joindre..

ANALYSE

ANALYSE DEMONTRÉE,

DE

LIVRE I.

L'ANALYSE QUI ENSEIGNE à réfoudre les Problêmes qui fe réduisent à des équations fimples.

SECTION

I

La Méthode de réduire un Problême en équations.

PROBLEME

I.

1. REDUIRE un Problème en équations; c'est-à-dire exprimer par des équations tous les raports d'un Probleme.

L faut diftinguer avec beaucoup d'attention les trois chofes que renferme le Problême: 1. Les grandeurs connues: 2. Les grandeurs inconnues qu'on cherche, ou qui fervent à faire trouver celles qu'on cherche: 3. Les raports connus entre les grandeurs connues & les inconnues, ou même ceux qui font entre les inconnues.

2o. Il faut marquer les grandeurs connues par les premieres lettres de l'alphabet a, b, c, &c. & les inconnues par les dernieres s, t, v, x, y, z;

Il eft bon auffi de marquer les grandeurs connues & in

Tome I.

A