connues par les premieres lettres des noms qui les expriment: Par exemple de marquer un nombre en general par n, une fomme par s, le temps part, la vîteffe par v, une tangente par t, une foutangente par s, & ainfi des autres; cela foulage la memoire.

3°. Il faut fuppofer le problême comme réfolu, en regardant les inconnues comme fi elles étoient connues, & trouver par le moyen des raports connus du Problême, autant d'équations qu'on a fuppofé d'inconnues. Il faut obferver autant qu'on peut, l'ordre naturel dans la formation des équations, c'est-à-dire qu'il faut commencer par les raports les plus fimples, & se servir ensuite par ordre des ordre des raports les plus compofés.

TROUVER le quatrième terme d'une proportion, dont on connoît les trois premiers termes,

1°. Je remarque les grandeurs connues qui font les trois premiers termes connus, la grandeur inconnue qui eft le quatriéme terme, & les raports connus entre les grandeurs connues & l'inconnue: dans ce Problême, les raports connus font le raport qui eft entre la premiere & la feconde grandeur connue, & le raport qui est entre la troifiéme grandeur connue, & la quatrième qui eft l'inconnue qu'on cherche, ces deux raports font égaux; par confequent le produit des extrêmes eft égal à celui des moyens,

2o. Je marque les grandeurs connues par les premieres lettres de l'alphabet, & l'inconnue par une des dernieres; de cette maniere. Soit le premier termea. Le fecond-b. Le troifiémec. Le quatriéme=x.

3°. Par le moyen des raports connus, j'ai cette proportion a. b::c.x,

Et le produit des extrêmes étant égal à celui des moyens, l'on aura cette équation ax = = bc, qui eft celle du Pro

blême,

EXEMPLE I I,

TROUVER la fomme de tous les termes infinis d'une progreffion geométrique qui va en diminuant, dont on connoît le premier & le fecond terme.

1o. Je remarque les grandeurs connues, qui font le premier terme de la progreffion qui eft le plus grand, & le fecond terme, la grandeur inconnue qui eft la fomme de tous les termes infinis de la progreffion: Je remarque de plus que par la proprieté des raports égaux qui font entre tous les termes de la progreffion, la fomme de tous les antecedents, qui eft ici la fomme de tous les termes infinis de la progreffion, parceque zero eft le dernier terme, eft à la fomme de tous les confequents, qui eft la fomme de tous les termes moins le premier, comme le premier terme est au fecond.

2o. Je marque les grandeurs connues & l'inconnue de

cette maniere.

La fomme inconnue de tous les termes infinis=s. 3°. Je me fers ainfi du raport connu pour former l'équation du Problême.

La fomme de tous les antecedents de la progreffion qui eft égale à so, c'est-à-dire la fommes, eft à la fomme de tous les confequents qui eft sa; comme le premier terme a eft au fecond b, & j'ai cette proportion

s.s-a:: a.b.

Et le produit des extrêmes étant égal à celui des moyens, l'on aura cette équation bs as—a a qui eft celle du

Problême.

EXEMPLE III.

TROUVER deux grandeurs dont on connoît la somme

& la difference.

1o. Soit la fomme connue des deux grandeurs incon

nues=a.

Soit leur difference connue=d.

Soit la premiere & la plus grande des deux grandeurs

inconnues = x.

La feconde=y.

2o. Il y a deux raports connus, le premier eft que la fomme des deux inconnues est égale à a, ce qui donne cette premiere équation x+y=a.

Le fecond raport connu eft que la difference des deux

inconnues eft égale à d, ce qui donne cette feconde équa tion x-y=d.

L'on a ainfi les deux équations du Problême.

REMARQUE.

LORSQU'IL n'y a pas assez de raports connus pour trouver autant d'équations qu'on a fuppofé d'inconnues, le Problême a plufieurs réfolutions, comme on le fera voir dans la fuite, & on l'appelle indéterminé.

2.

DEFINITION.

LES s grandeurs qui font des deux côtés du signe = dans une équation, font nommées les deux membres de l'équation, x-y eft le premier membre de l'équation x-y=d, & d en eft le fecond membre.

AVERTISSEMENT.

APRE's avoir réduit un Problême en équations, il faut faire en forte que les inconnues des équations fe trouvent feules dans le premier membre, & qu'il n'y ait que des grandeurs connues dans le fecond; ce qui donne la résolution du Problême.

Le dégagement des inconnues des équations, & les préparations pour y arriver, fe font par l'addition, la fouftration, la multiplication, la divifion, l'extraction des racines, &c.

La Méthode de dégager les inconnues des équations, & de préparer les équations à ce dégagement.

Ufage de l'addition & de la foustraction pour le dégagement des inconnues, & pour y préparer les équations,

L'ADDITION & la fouftraction fervent à faire paffer une ou plufieurs grandeurs d'un membre de l'équation dans l'autre.

●

Il faut effacer la grandeur qu'on veut faire paffer dans le membre où elle eft, & l'écrire dans l'autre membre avec un figne contraire à celui qu'elle avoit.

Par exemple, dans l'équation bs = as-aa, on fera paffer- -aa du fecond membre dans le premier, en l'effaçant dans le fecond membre, & l'écrivant dans le premier avec le figne +, & l'on aura bs + aa—as.

On fera paffer de même dans l'équation bs+aa = as, la grandeur+bs du premier membre dans le fecond, en l'effaçant dans le premier, & en l'écrivant avec le figne dans le fecond, & l'on aura aa—as — - bs.

DEMONSTRATION.

L'ON ne fait dans cette tranfpofition qu'ajouter ou retrancher des grandeurs égales dans chaque membre de l'équation: car en ajoutant + aa dans chaque membre de l'équation bs=as aa, l'on trouve aa + bs= =as aa + aa, &—aa aa étant égale à zero, on l'efface, & il refte aa +bsas. Et en retranchant + bs dans chaque membre de aabs as, l'on trouve aa +bs—bs—as -bs, & +bs—bs étant égal à zero, on l'efface, & il reste aa — as -bs. Par confequent les deux membres demeurent toujours égaux après cette tranfpofition.

Ufage de la tranfpofition.

1.ON peut mettre par tranfpofition toutes les quantités où eft l'inconnue dans un membre, & toutes les quantités connues dans l'autre, comme on le voit dans la derniere équation; ce qui fervira au dégagement des inconnues.

2. On peut mettre par tranfpofition toutes les quantités d'une équation dans un membre, & zero dans l'autre, ce qui fervira dans les Livres fuivans. Car en effaçant toutes les quantités d'un membre, & les écrivant avec des fignes contraires dans l'autre membre, l'égalité demeure toujours, & zero fe trouve feul dans le membre où l'on a effacé tou tes les quantités. Par exemple, fi l'on a xx ax = l'on aura par tranfpofition xxax — ab = 0.

ab,

3. On peut rendre pofitives par le moyen de la tranfpofition, les grandeurs negatives de l'équation, les ôtant du membre où elles font negatives, & les mettant dans l'autre

avec le figne; ce qui fert à rendre l'inconnue pofitive, quand elle eft negative, & à faire trouver la valeur pofitive de l'inconnue.

4. Lorsque la même grandeur fe trouve avec le même figne dans chaque membre de l'équation, comme dans cet exemple ax+ab +ab+be, il faut l'effacer, & l'on aura

ax= bc.

Ufages de la multiplication pour préparer les équations, pour en ôter les fractions, & pour en dégager les inconnues. 3. 1. LORSQUE l'inconnue eft divifée par une grandeur connue, comme dans cet exemple, on peut dégager l'inconnue de cette grandeur connue, en multipliant chaque membre par la grandeur a, par laquelle l'inconnue x eft divifée, & l'on aura x b ab.

2. On peut encore ôter par la multiplication, toutes les fractions d'une équation.

Il faut multiplier les deux membres de l'équation par le dénominateur de la premiere fraction, & multiplier la nouvelle équation par le dénominateur de la feconde fraction, & ainfi de fuite, & l'on trouvera une équation où il n'y aura plus de fractions.

Exemple. Il faut ôter les fractions de l'équation + = 4.

Je multiplie chaque membre par a, & je trouve l'équation x + ab ad

Je multiplie enfuite chaque membre de cette équation par le dénominateur c, & je trouve cx+ab acd =

Enfin je multiplie chaque membre de cette équation par le dénominateur e, & je trouve cex+abe — acd où il n'y a plus de fractions.

On peut ôter tout d'un coup toutes les fractions d'une équation, en multipliant chaque membre par le produit de tous les dénominateurs.

+

Dans l'exemple précedent en multipliant +=&par ace produit de tous les dénominateurs, l'on trouve l'équation acer afce — aced, dans laquelle effaçant les lettres communes au numerateur & au dénominateur de chaque fraction, l'on aura l'équation fans fractions cex + abe= comme on l'avoit trouvée.

acd,